produit scalaire et théorème de la médiane

Posté par dompig dompig

Bonjour,

un exercice qui me pose problème,

soit ABCD un carré direct de centre O tel que AB=2. On note I le milieu de [AB].

Déterminer et construire les ensembles E, F et G.

1) E est l'ensemble des points M du plan tels que vecteur AM.vecteur AB = 2

2) F est l'ensemble des points M du plan tels que MA2 - MB2 = 4 (le 2 veut dire "carré"

3) G est l'ensemble des points M du plan tels que vecteur MA.vecteur MB = 4

je pense que l'on doit le faire avec chasles mais je ne sais comment faire !!

Posté par pgeod pgeod


1/
soit I milieu de [AB]
    AM.AB = 2
<=> (AI + IM).AB = 2
<=>  ..... développe

....  

Posté par dompig dompig

bonjour,

merci d'avance pour ton aide

alors je développe
(AI.AB)+(IM.AB) = 2
mais je ne sais pas trop où cela me mène

par contre si H est le projeté orthogonal de M sur (AB)
la condition vecteur AM.AB = 2 équivaut à vecteur AH.AB = 2

2 est positif donc les vecteurs colinéaires AH et AB sont de même sens et
AB X AH = 2
AH = 2/AB = 1

le point H est défini de façon unique

l'ensemble E est la droite orthogonale à (AB) en H
qui est en fait le point I milieu de (AB) donc il s'agit d'une droite orthogonale à AB passant par I

je ne sais pas si j'ai raison

pour le 2) MA carré - MB carré = 4
faut t'il partir sur (MA + MB)(MA - MB) = 4
??

Posté par pgeod pgeod


1/ c'est bon.
on peut également le faire comme tu viens de le faire.

2/ MA² - MB² = 4
<=> (MA - MB) . (MA + MB) = 4
<=> BA . 2MI = 4
<=> .............

...

Posté par dompig dompig

est ce que c'est bon !

(MA - MB).(MA + MB) = (MI+IA-MI-IB).(MI+IA+MI+IB)
                    = (BI + IA). 2MI = 4
                    = BA.2MI = 4
BA = 2 ? ou -2 car AB = 2
si BA = 2 alors 2.2MI = 4

           donc MI = 1
si cette réponse est exacte que peut t'on en conclure sur F l'ensemble des points M du plan ?

MERCI de ton aide

Posté par pgeod pgeod


2/ MA² - MB² = 4
<=> (MA - MB) . (MA + MB) = 4
<=> BA . 2MI = 4
<=> IM . AB = 2
<=> IM . 2IB = 2
<=> IM . IB = 1
........ idem à la question précédente
........ en posant H projeté de M sur (AB)

...

Posté par dompig dompig

donc l'ensemble F est la droite perpendiculaire à AB passant par B

Pour la question 3)

je trouve MI = 5

l'ensemble G est quelle droite ?

Posté par pgeod pgeod


2/ ok

3) G est l'ensemble des points M du plan tels que vecteur MA.vecteur MB = 4

Et si G n'était pas une droite ?
un truc qui serait à égale distance d'un point fixe.

...

Posté par dompig dompig

E et F étaient des droites perpendiculaires à AB passant respectivement par I et B question 1) et 2)

Mais G je ne vois pas de quelle droite il s'agit, ni comment la représenter sur mon dessin en trouvant que MI = 5

merci d'éclairer ma lanterne

Posté par pgeod pgeod

Et si G n'était pas une droite ?
un truc qui serait à égale distance d'un point fixe.

un truc qu'on construit avec un compas.

...

Posté par dompig dompig

merci de ton aide je vais construire G avec un compas avec MI = 5