suite avec lnx 2
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suite avec lnx 2
Posté le 15-03-10 à 21:01
Posté par 
latiffa latiffa
Bonsoir, j'aurais besoin d'aide pour dérivé les fonctions :
1.a. en deduire le sens de variation de la fonction f et de celle de g
f(x)=ln(1+x)-x
g(x)=ln(1+x)-(x/(x+1))
j'ai trouvé :
f'(x)= -x/(x+1)
g'(x)=x/(x+1)2
J'aurais aussi besoin d'aide pour la suite :
b. en, déduire que : pour tout réel x
0, x/(x+1)
ln(1+x)x.
c. utiliser l'encadrement précédent pour etablir que : pour tout entier n1, 1/(n+1)ln(1+(1/n))1/n.
2. soit u et v les suites definies pour tout entier n1 par :
un=1+(1/2)+...+(1/n)-ln(n)=
nk=1 (1/k)-ln(n)
et vn=1+(1/2)+...+(1/n)-ln(n+1)=nk=1 (1/k)-ln(n+1)
démontrer que ces deux suites sont adjacentes.
avec ce symbole de somme, je ne m'en sors pas trop.
latiffa latiffaBonsoir, j'aurais besoin d'aide pour dérivé les fonctions :
1.a. en deduire le sens de variation de la fonction f et de celle de g
f(x)=ln(1+x)-x
g(x)=ln(1+x)-(x/(x+1))
j'ai trouvé :
f'(x)= -x/(x+1)
g'(x)=x/(x+1)2
J'aurais aussi besoin d'aide pour la suite :
b. en, déduire que : pour tout réel x
0, x/(x+1)ln(1+x)x.c. utiliser l'encadrement précédent pour etablir que : pour tout entier n
1, 1/(n+1)ln(1+(1/n))1/n.2. soit u et v les suites definies pour tout entier n
1 par :un=1+(1/2)+...+(1/n)-ln(n)=
nk=1 (1/k)-ln(n)et vn=1+(1/2)+...+(1/n)-ln(n+1)=
nk=1 (1/k)-ln(n+1)démontrer que ces deux suites sont adjacentes.
avec ce symbole de somme, je ne m'en sors pas trop.
re : suite avec lnx 2 Posté le 15-03-10 à 21:15
Posté le 15-03-10 à 21:15Posté par Yzz Yzz
Bonsoir,
tes deux dérivées sont bonnes; par conséquent, pour tout x0, f'(x)0 et g'(x)0
D'où f est décroissante et g est croissante sur [0; +
[.
Donc , toujours sur [0;+[:
f(x)f(0) donc f(x)0 et g(x)g(0) donc g(x)0.
Yzz YzzBonsoir,
tes deux dérivées sont bonnes; par conséquent, pour tout x
0, f'(x)0 et g'(x)0D'où f est décroissante et g est croissante sur [0; +
[.Donc , toujours sur [0;+
[:f(x)
f(0) donc f(x)0 et g(x)g(0) donc g(x)0.re : suite avec lnx 2 Posté le 15-03-10 à 21:30
Posté le 15-03-10 à 21:30Posté par Yzz Yzz
Ca te donne déjà le b : f(x)0 donc ln(1+x)x et g(x)0 donc ln(1+x)x/(x+1).
Le c est une conséquence du b : si la propriété est vraie pour tout réel positif x, elle l'est aussi pour tout entier n positif.
Yzz YzzCa te donne déjà le b : f(x)
0 donc ln(1+x)x et g(x)0 donc ln(1+x)x/(x+1).Le c est une conséquence du b : si la propriété est vraie pour tout réel positif x, elle l'est aussi pour tout entier n positif.
re : suite avec lnx 2 Posté le 15-03-10 à 21:33
Posté le 15-03-10 à 21:33Posté par Yzz Yzz
Petite rectif:
Le c est une conséquence du b : si la propriété est vraie pour tout réel positif x, elle l'est aussi pour tout nombre 1/n avec n entier positif.
Yzz YzzPetite rectif:
Le c est une conséquence du b : si la propriété est vraie pour tout réel positif x, elle l'est aussi pour tout nombre 1/n avec n entier positif.
re : suite avec lnx 2 Posté le 15-03-10 à 21:55
Posté le 15-03-10 à 21:55Posté par veleda veleda
bonsoir,
b)d'aprés le tableau de variation
pour x0
f(x)0 =>ln(1+x)x
g(x)0=>ln(1+x)
tu en déduis l'encadrement demandé de ln(1+x)
c)tu poses
dans l'encadrement de ln(1+x)et tu obtiens l'inégalité demandée
d)
tu formes
![u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}-ln(1+\frac{1}{n])](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}-ln(1+\frac{1}{n]))
0 d'aprés ce qui précède donc la suite(u) est décroissante
)
0
d'aprés ce qui précéde donc la suite (v) est croissante
-ln(n)=ln(1+\frac{1}{n})=>\frac{1}{n+1}\le u_n-v_n\le\frac{1}{n}=>lim_{\infty}(u_n-v_n)=0)
sauf erreur de calcul ou de frappe
veleda veledabonsoir,
b)d'aprés le tableau de variation
pour x
0 f(x)
0 =>ln(1+x)xg(x)
0=>ln(1+x)tu en déduis l'encadrement demandé de ln(1+x)
c)tu poses
d)
tu formes
0 d'aprés ce qui précède donc la suite(u) est décroissante0d'aprés ce qui précéde donc la suite (v) est croissante
sauf erreur de calcul ou de frappe
re : suite avec lnx 2 Posté le 16-03-10 à 18:38
Posté le 16-03-10 à 18:38Posté par latiffa latiffa
Pour la d pourrais-je avoir plus de details pour Un+1-un et pour vn+1-vn s'il vous plait ?!
latiffa latiffaPour la d pourrais-je avoir plus de details pour Un+1-un et pour vn+1-vn s'il vous plait ?!
re : suite avec lnx 2 Posté le 16-03-10 à 18:45
Posté le 16-03-10 à 18:45Posté par latiffa latiffa
Ha oui, et je n'arrive pas aux limites de f(x) et g(x). Celle en 0 de f(x) ça va, mais pas les autres.
latiffa latiffaHa oui, et je n'arrive pas aux limites de f(x) et g(x). Celle en 0 de f(x) ça va, mais pas les autres.
re : suite avec lnx 2 Posté le 16-03-10 à 19:55
Posté le 16-03-10 à 19:55Posté par veleda veleda
on étudie les fonctions sur R+ ou sur]-1;+oo[?
en 0 les deux fonctions sont définies f(0)=0 g(0)=ln(1)-0=0
en +oo
=lnx(\frac{1}{x}+1)-x=lnx+ln(1+\frac{1}{x})-x=x(\frac{lnx}{x}-1)+ln(1+\frac{1}{x}))
en->-\infty)
et->ln(1)=0)
donc en->-\infty)
veleda veledaon étudie les fonctions sur R+ ou sur]-1;+oo[?
en 0 les deux fonctions sont définies f(0)=0 g(0)=ln(1)-0=0
en +oo
en
et
donc en
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