Exercice L3 sur les groupes.

Posté par Olivski Olivski

Bonsoir à tous, je vous propose un ennoncé sur lequel je bloque formidablement bien :s et plutôt long....pour info je bloque à la troisième question. Si quelqu'un a une idée, je l'en remercie vivement.

Voici l'ennoncé :

On dit qu'un groupe fini est nilpotent si tout sous-groupe propre de est strictement contenu dans son normalisateur.
Aussi, on rappelle qu'un groupe est dit simple s'il est non trivial, et s'il n'a aucun sous groupe propre normal et non trivial.

On considère un groupe simple fini dont tous les sous groupes propres sont nilpotents.

Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe un entier p premier tel que est isomorphe à .
Pour cela, on procède par l'absurde, et on suppose qu'il n'existe pas d'entier premier tel que est isomorphe à :

Questions
1) Expliquer pourquoi n'est pas nilpotent.
2) Vérifier que pour tout sous groupe propre maximal de .
3) Démontrer que tout est contenu dans un unique sous groupe propre maximal de G.

Je m'arrete là pour les questions de cet exercice car je bloque à la question 3)...Si quelqu'un pouvait m'éclairer, ça m'aiderai beaucoup pour pouvoir continuer mon exercice. En vous remerciant vivement.

Posté par 1emeu 1emeu

Bonjour,

voici une suggestion (à vérifier car il y a bien longtemps que je n'ai pas tâté de théorie des groupes).

Soit M1  et M2 deux sous-groupes maximaux distincts de G. Considérons H leur intersection. Par conséquent N(H) contient N(M1)=M1 et N(M2)=M2, donc N(H)=G (car M1 et M2 sont maximaux), donc H est normal dans G. Comme on a supposé que G est simple, cela signifie que H est le sous-groupe trivial. Par conséquent, pour tout x dans G\1, x est contenu dans un unique sous-groupe maximal

Sauf erreurs,
1emeu

Posté par 1emeu 1emeu

Bon euh finalement ma preuve a l'air fausse... La phrase
"Par conséquent N(H) contient N(M1)=M1 et N(M2)=M2" ne me semble pas correcte...

Je continue à y réfléchir
1emeu

Posté par Olivski Olivski

J'ai continué à essayer de chercher moi aussi...mais je n'y arrive vraiment pas....
je vois que la question est mal passé et donc je la re-écris:

3) Démontrer que tout x dans G\{1} est contenu dans un unique sous groupe propre maximal de G.

En tout cas déjà merci d'avoir essayé de m'aider à répondre à cette question.

Posté par Olivski Olivski

si une autre idée te viens...ou si quelqu'un d'autre sait comment faire, il est le bienvenue

Posté par Olivski Olivski

UP (avant que mon message ne tombe dans les méandres du fin fond des questions^^)

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Voilà, je crois, une solution.

Soit x dans G et soit le sous-groupe engendré par . Comme il est exclu que G soit cyclique, on a . Pour , on pose . On est dans un ensemble fini, cette suite est croissante, et on voit facilement qu'elle est stationnaire "du premier coup". Soit k le plus petit entier tel que . Comme G est simple, on a nécessairement . (sinon, un des serait distingué).

Soit M un sous-groupe propre maximal contenant Soit . On voit facilement que Cette suite est aussi croissante, aussi stationnaire, mais comme M est nilpotent elle s'arrête forcément à M. Il existe donc un entier j tel que . Mais ceci prouve que , donc donc M est bien défini à partir de x.

A vérifier soigneusement...
Remarque: je ne me suis servie que du fait que et pas du fait que est cyclique. mais comme ce n'est que le début d'une histoire... peut-être que ça sert plus loin!

Posté par Camélia Camélia

... et Bienvenue sur l'

Posté par juju20 juju20

Merci camélia pour ta réponse (je bloque aussi sur ce problème).
En ce qui concerne ta démonstration, tu dis : A la fin tu trouves la forme de M et tu conclus que M est bien défini à partir de x. Ce qui me dérange c'est que dès le départ M contient H₀ et donc contient x. Peut être que je ne comprends simplement pas bien ta réponse?

Posté par Olivski Olivski

Bonsoir, merci pout ta réponse...mais moi aussi j'ai la même interrogation que juju

Posté par Camélia Camélia

On demande bien de prouver que chaque x est dans un seul sous-groupe maximal. Je choisis x; je fais ma cuisine pour construire . Ensuite je prends un sous-groupe maximal M qui contient x et je démontre que . J'ai donc bien construit l'unique sous-groupe maximal qui contient x.

Attention! On ne demandait pas de prouver qu'il y a un seul sous-groupe maximal, mais qu'un élément x est contenu dans un seul d'entre eux.

Je suppose que la suite consistera justement à montrer qu'il n'y en a pas du tout...

Posté par Camélia Camélia

... et Bienvenue sur l' à vous deux!

Posté par Olivski Olivski

Merci Camélia