Loi de poisson

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Loi de poisson

Posté le 16-03-10 à 08:38

Posté par princessen

Bonjour,
Voici un exercice ou je rencontre quelques difficultés.
Merci de bien vouloir me donner des pistes de reflexion.

Soient X, Y deux variables aléatoires indépendantesde lois de Poisson de parametre

.
. Calculer la loi du couple (X,X+Y)
. Identifier la loi de X sachant {X+Y=n} pour n

.
. En déduire l'espérance conditionnelle de X sachant X+Y.

Merci d'avance

re : Loi de poisson

Posté le 16-03-10 à 10:07

Posté par PIL

Bonjour,

Pour trouver la loi du couple (X,S) tu calcules

    f(x,s) = P(X=x et S=s) = P(X=x)P(S=s|X=x);

pour la probabilité conditionnelle tu dis : si X=x on a S=s ssi Y=s-x, donc

$2$\rm P(S=s|X=x) = e^{-\mu} \frac{\mu^{s-x}}{(s-x)!}$

d'où la loi de (X,S).

Pour la loi de X sachant que S=n, tu calcules   $2$\rm f(x|S=n) = \frac{f(x,n)}{f_S(n)}$
et tu sais que S = X+Y suit une loi de Poisson de paramètre

. Il me semble qu'on obtient une loi bien connue ...

re : Loi de poisson

Posté le 16-03-10 à 18:14

Posté par princessen

Merci beaucoup de ta réponse.
J'ai en effet reussi a debloquer un peu sur l'exercice.

re : Loi de poisson

Posté le 16-03-10 à 20:50

Posté par PIL

C'est une jolie question.

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