inégalité de sterling

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inégalité de sterling

Posté le 16-03-10 à 09:16

Posté par aduf

Bonjour à tous.

J'aimerais montrer que n!>(2pi n)^{1/2}(n/e)^n.

Merci de me donner des idées, il semble que la récurrence est délicate......

re : inégalité de sterling

Posté le 16-03-10 à 10:35

Posté par jft91

Bonjour,

On peut montrer que : $n! = \sqrt{2\pi{n}} .(\frac{n}{e})^n(1 + \frac{1}{12n} +O(\frac{1}{n^2}))$ qui donne le résultat il me semble.

re : inégalité de sterling

Posté le 16-03-10 à 15:47

Posté par aduf

Merci mais je ne pense pas qu'une relation au voisinage de l'infini permette d'obtenir une inégalité satisfaite sur l'ensemble des entiers naturels.

re : inégalité de sterling

Posté le 16-03-10 à 20:19

Posté par jft91

Une autre piste :
On peut trouver une suite (a_n) à valeurs dans [0;1] telle que : $n! = \sqrt{2\pi{n}}.(\frac{n}{e})^n \sqrt{n}. e^{\frac{a_{n}}{12n}$ .Mais il y a du travail en amont pour établir ce résultat..

re : inégalité de sterling

Posté le 16-03-10 à 22:46

Posté par Narhm

Bonjour,

Une autre idée :

Si on suppose connu le résultat $4$ n! \sim \sqrt{2\pi{n}}(\frac{n}{e})^n$ ( qu'on montre souvent avec Wallis ), on peut montrer que la suite $4$ u_n=\ln(\fr{n!}{\sqrt{n}(\fr{n}{e})^n})$ est décroissante et minorée par $3$ \ln(\sqrt{2\pi})$ .
Ce qui permet de conclure que $3$ \forall n\geq 1, \ n!\geq \sqrt{2\pi n}(\fr{n}{e})^n$ .

_{Sauf erreurs.}

re: inégalité de sterling

Posté le 17-03-10 à 00:27

Posté par jft91

Bien sûr, erreur dans mon égalité : pas de racine de n supplémentaire dans le 2ème membre.L'idée de Narhm est sans doute plus directe!

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