Demonstration par récurrence 1S

Posté par Luann Luann

Bonjour =) j'ai eu la suite Un= 1+ cosnPI
on nous a dit de calculer U1 j'ai trouvé 0 u3 u21 pareil mais aussi U2 où j'ai trouvé 2 de même pour U4 et U100 ^^ on nous demande de démontrer que la suite U2n est stationnaire (rang pair) et la suite U2n+1 (rang impair aussi)
Pour la démonstration des rangs pairs je vous fait part de mes calculs
Initialisation
U0= 1+cos(O)= 1+1=2 ce qui est bien égal à U2 U4 et u100
Hérédité: je suppose que U2k+2=2
U2k+2=1+cos((2k+2)pi)= 1+ cos(2kpi+2pi)= aprés réduction et tout 1+ cos2kpi est-ce que je peux dire que comme 2k est paire alors 2kpi correspond à tant de fois le pérmiètre du cercle tout entier et que le cos2kpi est égal au cos2pi à savoir 1 et conclure comme telle?
Merci d'avance

Posté par Hiphigenie Hiphigenie

Bonjour,



Hérédité : On suppose U_2k = 2
Montrons que U_{2(k + 1)} = 2

en effet : U_{2(k + 1)} = U_{2k + 2} = 1 + cos[(2k + 2) ] = 1 + cos(2k + 2 ) = 1 + cos(2k ) = U_2k = 2.

Posté par Hiphigenie Hiphigenie

En plus, pour l'initialisation, il suffit de dire :

U₀ = 1 + cos(0.) = 1 + cos(0) = 1 + 1 = 2 ; U₂ = 1 + cos(2) = 1 + 1 = 2.

On a bien que U₀ = U₂ = 2.

Posté par Luann Luann

Merci beaucoup =D c'est vraiment gentil de ta part =)