Principe théorique du bootstrap

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Principe théorique du bootstrap

Posté le 16-03-10 à 13:52

Posté par CC_

Bonjour,

J'aurais besoin de votre aide pour comprendre le principe théorique du bootstrap. Dans le livre fondateur de Efron, il est donné cet exemple :

Citation :
On se donne un jeu de données $(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ . Un échantillon bootstrap $x^\star = (x_1^\star, x_2^\star, \cdots, x_n^\star)$ est composé de n tirages avec remise parmi l'échantillon initial.
On génère B échantillons bootstrap $x^{\star 1}, \cdots, x^{\star B}$ .

On s'intéresse à une certaine statistique $s$ . On appelle $s(x^{\star b})$ la valeur de $s$ évaluée sur $x^{\star b}$ . Alors, l'estimateur bootstrap de l'erreur standard sur $s$ est l'écart-type obtenu sur les réplications bootstrap :
$\hat{se}_{\text{boot}} = \left\{ \sum_{b=1}^B [s(x^{\star b}) - s(\cdot)]^2 / (B-1)\right\}^{1/2}$
où $s(\cdot) = \sum_{b=1}^B s(x^{\star b}) / B$ .

Si $s$ est la moyenne $\bar{x}$ , alors dans ce cas, lorsque B tend vers l'infini, la formule précédente tend vers
$\left\{ \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 / n^2 \right\}^{1/2}$

On estime ainsi la variance de l'échantillon initial.

Je ne comprends pas le passage sur la convergence lorsque B tend vers l'infini. On a visiblement affaire à un cas de loi des grands nombres, mais je ne parviens pas à en déduire le résultat...

Merci par avance !

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