Petit Probleme sur les suites

Posté par Leronchon Leronchon

Bonjour
C'est la première fois que j'utilise ce site j'espère que vous pourrais m'aider.Merci d'avance

J'ai un petit problème sur les suites.Un dm a rendre pour vendredi

J'expose l'énonce

Soit la suite définie par U0=3 Et Un+1=Un.E^-(Un)

1°)Montrer par récurrence que un > 0 pour tout N

Pour cette question j'ai fait une récurrence classique j'ai bien trouver pour tout N Un>0

2°)Montrer que Un est décroissante , En déduire qu'elle est convergente ?

C'est la que se pose le problème , Pour prouver qu'elle est décroissante je fait Un+1 - Un
Je doit trouver un signe négatif
Mais je n'arrive pas a résoudre cette soustraction

Un+1 - Un = Un.e^-(Un) - U(n-1).e^-U(n-1)

Après avoir trouver cela je doit faire la limite et je doit normalement trouver 0 pour dire que cette suite est convergente

Merci de votre aide  

Posté par phj69 phj69

bonjooir,
Je vous suggère de calculer le rapport entre U(n+1/U(n).
Que voyez vous? Conclusion?
@+ phj69

Posté par raymond raymond

Bonsoir



Etudie le signe de ce produit.

Posté par Leronchon Leronchon

On peut mettre Un.e^-Un en facteur mais ensuite je ne vois pas ...
Ma méthode est fausse ?
Merci

Posté par Leronchon Leronchon

Si j'étudie le signe je trouve que

Un(e^-un-1)0

Donc Le reste est négatif et donc la suite est décroissante =)

Merci beaucoup

Posté par raymond raymond

Tu sais que u_n > 0

Donc, exp(-u_n) < 1

Posté par Leronchon Leronchon

Petite question pourquoi on ne remplace pas Un ?
J'ai étudié les signes
Je ne vois vraiment pas le rapport avec la décroissance de la suite  

Posté par raymond raymond

D'abord, si tu remplaces par u_n-1 tu auras plusieurs variables, tandis que dans ce que je te donne, seul u_n intervient.

Ensuite tu as u_n > 0 et exp(- u_n) - 1 < 0.

Donc le signe du produit est : négatif.

Posté par Leronchon Leronchon

Ok
J'ai compris , j'ai ensuite fait la limite en +00 pour connaitre si la suite converge

Lim Un = +00

Lim exp(- un) - 1 = 0

Donc la suite ne converge pas c'est bien sa ? Merci

Posté par raymond raymond

Non, c'est faux.

Tu sais que la suite est décroissante et minorée par 0, donc, elle converge vers un réel L tel que L 0

Posté par Leronchon Leronchon

D'accord
Ce que j'ai fait au dessus c'est pour calculer la limite de la suite non ?

(Désolé j'ai un point faible en math c'est les suite =S)

Posté par raymond raymond

Il vaut mieux partir de la définition.

u_n+1 = u_n.exp(-u_n)

Quand n tend vers l'infini :

L = L.exp(-L)

Posté par Leronchon Leronchon

Impec pour la limite !!!

J'ai encore une question à la suite du DM il me dise
On considére la suite définie sur N par Wn = Ln(Un)

Montrer que pour tout n , On a Wn+1 = Wn-Un En deduire la monotonie de (Wn)

J'ai essayer de remplacer chaque terme pour trouver Wn+1 mais sa donne un truc tout moche !
La je doit remplacer Un ?   Un= Un-1.e^-Un-1 ?

Posté par raymond raymond

Calcule w_n+1 = ln(u_n+1) = ln[u_n.exp(-u_n)]

Ensuite, utilise les propriétés élémentaires du logarithme

Posté par Leronchon Leronchon

Merci beaucoup pour tout cette aide j'ai rendu mon Dm de math aujourd'hui je pense l'avoir réussi !!!

Encore Merc

Posté par raymond raymond

Bonne soirée