droite et cercle d'Euler

Posté par orateur orateur

bonjour! J'ai un DM à rendre et je n'y comprend rien..de l'aide est le bien venue.Même en ayant déjà fait la figure mes idées ne s'éclaircissent pas.. Merci d'avance!

Droite et cercle d'Euler

Soit ABC un triangle non aplati et non equilatéral
Soit o le centre du cercle C circonscrit au triangle ABC
Soit A',B',C' milieux de [BC],[CA], [AB]
Soit A1,B1,C1 les pieds des hauteurs issues respectivement des sommets A,B,C

Partie A
1) Reconnaitre le point X du plan vérifiant: V(OX)=V(OA)+V(OB)+V(OC)
on prendra "V" pour dire "vecteur"
2)Montrer que V(OA)+V(OB)+V(OC)=3V(OG)
3)En déduire que les points O,G,H sont alignés

Partie B
Soit h l'homothétie de centre G et de rapport -1/2
1)a) Determiner les images par h des points A,B,C
b)Quelle est l'image par h des hauteurs du triangle ABC?
En déduire l'image du point H par h
c) Justifier que l'image du cercle C par h est un cercle C' dont le centre O' est le milieu de [OH]
2)a) Reconnaître le centre de l'homothétie positive (de rapport +1/2) transformant C en C'
b) conclure que : le cercle C' contient:
   les milieux des côtés du triangle ABC
   Les milieux des segments [AH],[BH], [CH]
   Les pieds des hauteurs A1,B1,C1 du triangle ABC

Posté par cailloux cailloux

Bonjour,

Cet exercice a déjà été traité de nombreuses fois sur l'
Une petite recherche (avec l' icône "loupe") t' aurait permis de trouver des réponses; en attendant:

1)a)

donc

Donc par colinéarité, le point est situé sur la hauteur isuue de

On démontrerait de même que le point est situé sur les hauteurs issues de et

est donc l' orthocentre du triangle

Posté par orateur orateur

bonjour,

merci beaucoup. Comme je suis nouvelle sur le site j'ai encore du mal a tout trouver.

Encore merci de m'avoir accordé du temps. Je vais approfondir mes recherches sur le site.