base canonique

Posté par liff liff

bonjour

j'ai un petit soucis avec les bases canoniques dans un exercice

on à une application f définnie sur R3[X] par f(P)=(P(1),P(2),P(3),P(4))
pour P appartenant à R3[X]
j'ai démontré quelle était linéaire et bijective
pour donner sa matrice sur la base canonique de R3[X] il faut trouver les images des vecteurs de cette base : (1,X,X[sup][/sup],X3)
je l'ai fait et j'obtient pour f(1) (1,1,1,1) pou f(X) (1,2,3,4,)
ect
et donc on obtient les coordonnées de 1 , X ... dans la base non ?
mais je ne comprends pas pourquoi on les trouve directement ds la base canonique
en fait je crois que je ne comprends pas réellement l'expression de l'application
P(1) est une des coordonnées de f(P) mais ds quoi ?
de plus si je voulais décomposer f(X) par aexemple ds la base canonique j'écrirai sa comment ?
d'habitude je comprends mais le fait que se soit des polynome me gene ...

merci d'avance de votre aide !
=)

Posté par liff liff

je voulais mettre le sujet ds analyse
dsl

Posté par frenicle frenicle

Bonsoir,

La difficulté, c'est que l'espace vectoriel de départ et celui d'arrivée de l'application f sont différents.

f : ₃[X] ⁴

L'espace d'arrivée n'est pas un espace de polynômes.

La base canonique de ₃[X] est (1, X, X², X³), alors que celle de ⁴ est
((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)).

Pour former la matrice de f, il faut choisir une base de l'espace de départ et une base de l'espace d'arrivée.

En choisissant les deux bases canoniques, on obtient bien la matrice :

1 1 1   1
1 2 4   8
1 3 9   27
1 4 16  64

Posté par liff liff

ah d'accord les espaces de départ et d'arrivée sont différents ...
je crois comprendre ! merci

ce qui m'échappe surtout c'est pourquoi une fois qu'on a fait l'image du vecteur on ne doit pas chercher sa décomposition sur la base canonique ( on l'a tout de suite )?

merci beaucoup

Posté par liff liff

"Pour former la matrice de f, il faut choisir une base de l'espace de départ et une base de l'espace d'arrivée."

ceci signifie bien prendre l'image des vecteurs de la base de départ et trouver leur décomposition dans la base d'arrivée ?

Posté par frenicle frenicle

Oui, c'est ça. C'est bien ce qu'on fait ici.

Posté par frenicle frenicle

Par exemple f(X) = (1,2,3,4) = 1.(1,0,0,0) + 2.(0,1,0,0) + 3.(0,0,1,0) + 4.(0,0,0,1)

ça donne les composantes de f(X) dans la base canonique de R⁴ et donc la 2ème colonne de la matrice.

Posté par liff liff

oui je ss d'accord
mais pourquoi on les obtient directemment dans cette base ?

Posté par liff liff

j'ai répondus un peu vite ce matin avant d'aller en cours ...
dsl

en fait ce que je comprends pas c'est pourquoi les vecteurs sont directement obtenus dans la base canonique ?
comment savoir si quand on fait l'image d'un vecteur on l'obtiendra dans la base canonique de l'espace d'arrivée ... ?

et je ne sais pas si qqun à un exercice avec un changement de base car j'aimerais m'entrainer mais j'en ai pas ....

merci d'avance de votre aide car je me sens vraiment perdue ...

Posté par frenicle frenicle

Mais c'est parce que c'est justement la base canonique de R⁴.
Dans cette base, les coordonnées d'un vecteur (a,b,c,d) sont précisément a, b, c et d. Elle est faite pour ça.
Comme l'application f est définie en donnant les quatre composantes de f(P), c'est normal qu'on retrouve directement leur expression dans la base canonique.

Si tu veux t'exercer, tu n'a qu'à essayer d'exprimer la matrice par rapport aux bases (1,X,X²,X³) de R₃[X] et (1,0,0,0),(1,1,0,0),(1,1,1,0),(1,1,1,1) de R⁴.

Posté par liff liff

oui je vois bien que c'est effectivement l'expression dans la base canonique
mais j'ai du mal à comprendre pourquoi on l'a directement ...
moi j'aurais tendance à chercher la décomposition et voir que c'est effectivement dans la base canonique ( et je perds mon temps ... )
à partir du moment où l'application est définie en donnant le bon nombre de vecteurs on tombent directement ds la base canonique ? qd est ce qu'il y a un risque de pas retomber dans la base canonique ?

dans l'exercice que tu me proposes je dois donc trouver les l'image des vecteurs de la base canonique de R3[X] et trouver leur décomposition sur la nouvelle base que tu m'as donner si j'ai bien compris =)
je fais ça ce soir ou demain ( car j'ai encore du boulo ) et je te l'écrit demain

merci de ta patience =)

Posté par liff liff

voila j'ai trouvé la matrice :

0 -1 -3 -3
0 -1 -5 -12
0 -1 -5 -48
1  4 16  64

voili
j'espere que je me ss pas trompée ...

Posté par frenicle frenicle

Bonsoir

C'est plutôt :

0 -1  -3 -7
0 -1  -5 -19
0 -1  -7 -37
1  4  16  64

Non ?

Posté par liff liff

oui surement j'ai du faire des erreurs de calculs ...

j'ai une autre petite question
on me donne
P1=(X-2)(X-3)(X-4)
P2=(X-1)(X-3)(X-4)
P3=(X-1)(X-2)(X-4)
P4=-X-1)(X-2)(X-4)
idem pour P3 et P4
on doit monntrer qu (P1 P2 P3 P4) est une base
je l'ai fait
après je dois trouver la matrice relativement à cette base
je trouve donc f(P1)=(-6,0,0,0,)  f(P2)=(0,3,0,0)
f(P3)=(0,0,-2,0)
f(P4)=(0,0,0,12)
mais je ne sais pas sur quelle base j'obtient mes vecteurs ...
sur la nouvelle base ou sur la base canonique ...
et je ne sais d'ailleurs pas comment trouver leur décompositon sur ma nouvelle base ( en décomposant et en trouvant les coefficients ...

merci d'avance pour ta réponse

Posté par frenicle frenicle

Mais la base (P1, P2, P3, P4) est une base de l'espace de départ, pas de l'espace d'arrivée.
Dans l'espace d'arrivée, il y a des quadruplets de réels, pas des polynômes (sauf si tu identifies R₃[X] avec R⁴, mais ça n'a pas l'air d'être le cas).
Donc tu ne peux pas exprimer f(P1) par exemple dans ta nouvelle base de R₃[X], puisque f(P1) n'est pas un polynôme.

Quel est l'énoncé exact de ton exercice. Comment est définie f au début ?

Posté par frenicle frenicle

Sinon, si tu veux la matrice de f par rapport à la base (P_i) et à la base canonique de R⁴, c'est immédiat :

-6 0 0  0
0  3 0  0
0  0 -2 0
0  0 0  12

(si tes calculs sont justes)

Posté par liff liff

ah oui je peux pas exprimer f(P1) en fonction de P1 et tt et tt !
je comprends !!
donc la base d'arrivée est encore la base canonique de R4 !
l'énoncé de l'exercice je l'ai pas réellement car c'était un exo de colle que je croyais avoir compris
et f était de R3[X] sur R4
je crois que cette fois j'ai compris !
merci beaucoup !!!
=)

Posté par frenicle frenicle

De rien