Appartenir

Posté par Yumi Yumi

Salut,

J'ai appris cette année que "l'appartenance () est au point ce que l'inclusion () est au ensemble".

Mais, je ne sais pas trop quand utiliser l'un et l'autre ?!

Par exemple, quand on dit "I appartient a la droite (AC)".

c'est I (AC)

car une droite c'est un ensemble de points.






édit Océane : forum modifié

Posté par critou critou

Bonjour,

C'est ce qui est avant le symbole qui importe (point ou ensemble).
Remarque que après le symbole, ou a toujours un ensemble : on ne peut pas dire par exemple qu'un point appartient à un point, ça n'a aucun sens ! on appartient forcément à un ensemble, et on est aussi inclus dans un ensemble. Tu auras toujours des ensembles à droite.

Un point appartient à un ensemble.

Un ensemble (mettons E) est inclus dans un ensemble (mettons G) (ce qui signifie que tous les points de E appartiennent à G.)

Ce qu'on peut résumer en :
point ensemble
ensemble ensemble

Clair ?

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour.
Ici point est synonyme d'élément.
On n'écrit pas point1 point2 mais on peut écrire point1 = point2 pour signifier qu'ils représente le même élément ou point.
On peut désigner un ensemble fini en énumérant ses points entre accolades et séparés par des points-virgules :
a {a; b; c; d}
En géométrie, un point peut être aussi considéré comme un segment dont les deux extrémités coïncident. De même, en arithmétique, un nombre peut être considéré comme un intervalle ne contenant que ce seul nombre. On note bien la distinction.
I (d) : le point I appartient à la droite (d)
[I] (d): le segment dont le début et la fin coïncident avec le point I est inclus dans (d)
3 [1;5] : 3 est compris entre 3 et 5 inclus
[3;3] [1:5] : l'ensemble des nombres à la fois supérieurs ou égaux à 3 et inférieurs ou égaux à 3 est constitué du seul nombre 3 et est inclus dans l'ensemble des nombres compris entre 1 et 5 inclus

Posté par Yumi Yumi

Ok!

Critou : Oui c'est clair. merci

Plumemeteore : j'ai tout compris sauf le dernier



car [3;3],ben c'est 3, non ? donc, c'est comme celui de l'avant dernier ?


Juste une derniere question : un plan, c'est bien un ensemble, non ?



merci

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour Yumi.
D'abord, mon avant-avant-dernière ligne devait commencer par [II] et pas par [I].
Il importe de ne pas confondre un élément avec l'ensemble constitué de ce seul élément (un singleton).
3 {3}; {3} {3}
3 = 2+1; {3} = {2+1} mais 3 {2+1}

Un ensemble peut être considéré comme un élément.
{{3}} est un ensemble dont le seul élément est l'ensemble contenant 3.
{3} {{3}} mais 3 {{3}}
ainsi il est faux que {3} {{3}} car l'élément 3 de {3} ne fait pas partie de {{3}}
en revanche
3 {3;{3}}; {3} {3;{3}} et {3} {3;{3}}

L'ensemble vide (désigné par {} ou est inclus dans tout ensemble E, car il n'existe aucun élément qui appartienne à mais pas à E.
]3[ =
{{}} est un ensemble non vide dont le seul élément est l'ensemble vide : {}

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonjour.
Un plan est bien un ensemble, un ensemble de points.
C'est d'ailleurs la première déclaration de la géométrie des mathématiques modernes : "Le plan est un ensemble infini de points".