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Posté le 16-03-10 à 19:50

Posté par renarddu75

Bonjour, j'aurais une question dans un exercice, que j'ai réussi à faure, sauf cette question, alors voici l'énoncé:
Deux suite (xn) et (yn) sont définies pour n>0 par les relations:
xn= 1/n + 1/(n+1) +...+ 1/2n
yn= 1/(n+1) + 1/(n+2)+...+1/2n
Et j'aimerais savoir comment prouver que (xn) et (yn) sont majorées?

re : re

Posté le 16-03-10 à 20:07

Posté par dagwa

Bonsoir,

tu peux remarquer que $y_n\leq x_n$ . Pour x_n on a $n\geq n, n+1\geq n,\cdots, 2n\geq n$ donc $1/n\leq 1/n, 1/(n+1)\leq 1/n, \cdots, 1/(2n)\leq 1/n$ .

Posté le 16-03-10 à 20:13

Posté par renarddu75

Mais comment est-ce que cela peut me montrer qu'elles sont majorées? J'ai trouvé que (xn) esg décroissante, et est-ce que cela peut m'aider dans cette question?

re : re

Posté le 16-03-10 à 20:30

Posté par dagwa

Ma proposition permet de majorer chaque fraction par un même nombre. En comptant le nombre de termes tu dois arriver $x_n\leq 1+1/n\leq 2$ .

Si tu as montré que $x_n$ est décroissante alors $x_n\leq x_1$ .

Posté le 16-03-10 à 20:38

Posté par renarddu75

Mais si on met que xn<=x1 alors cela suffit pour démontrer que xn est majorée.
Et d'où vous sortez que xn <=1+1/n<=2?

re : re

Posté le 16-03-10 à 20:57

Posté par dagwa

Le fait que $x_n$ est décroissante signifie que $x_{n+1}\leq x_n$ pour tout n. Par récurrence on a le résultat. Et alors c'est fini.

1/n+...+1/(2n) contient n+1 termes tous majorés par 1/n d'où le résultat.

J'espère que c'est plus clair.

Posté le 17-03-10 à 14:34

Posté par renarddu75

Oui c'est plus clair, merci de votre aide.

Posté le 17-03-10 à 18:13

Posté par renarddu75

Je vaix encore vous embêter, comment peut-on detérminer que la suite (xn) est décroissante? En utilisant bien
x(n+1)-xn? Mais je reste bloqué dans ce calcul. Merci d'avance.

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