Olympiade de math

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Olympiade de math

Posté le 16-03-10 à 20:26

Posté par adrix

Quel est le nombre de solution de l'équation 3x2^m +3=n², d'inconnue (m,n) Appartenant à Z²?

A:0 B:1 C:2 D:Un nombre fini>2 E: Une infinité

Je pense que la réponse C est la bonne mais je n'arrive pas à me le prouver ^^. Un petit coup de main me serrait utile, avis aux matheux

re : Olympiade de math

Posté le 16-03-10 à 21:04

Posté par pildou

3(2^m+1)=n²

Il faut que 3(2^m+1) soit un nombre possédant une racine carré qui soit un entier soit que 3(2^m+1) soit un carré parfait qui soit multiple de 3.

Après je ne vois pas trop...

re : Olympiade de math

Posté le 16-03-10 à 22:10

Posté par adrix

J'étais arriver à la même conclusion mais je sèche comme toi après

re : Olympiade de math

Posté le 17-03-10 à 12:57

Posté par adrix

Personne?

re : Olympiade de math

Posté le 17-03-10 à 14:23

Posté par pildou

Et bien si on pose $2^m+1 = x$

$3x = n^2$
Les solutions sont de la forme $x = 3q^2$ avec $q\in\mathbb{Z}$
Mais je ne me souviens plus comment le démontrer...

Il suffit donc de dire que $2^m+1 = 3q^2$

Mais ça n'avance pas vraiment les choses.

re : Olympiade de math

Posté le 17-03-10 à 15:18

Posté par cailloux

Bonjour,

Une solution qui vaut ce qu' elle vaut...

$3(2^m+1)=n^2$

donc $n^2$ est multiple de 3 et nécessairement $n$ est multiple de 3

$n=3k$ et $2^m+1=3k^2$ On en déduit que $2^m+1$ est donc multiple de 3 et que $k$ est impair

Pour que $2^m+1$ soit multiple de 3, il faut nécessairement que $m$ soit impair

Donc $m=2p+1$ et $k=2k'+1$

Ce qui donne: $2^{2p+1}+1=3(2k'+1)^2$

soit: $4^p=6k'^2+6k'+1$

Le second membre est impair donc nécessairement $p=0$

Ce qui donne $m=1$ et les deux solutions $(1,3)$ et $(1,-3)$ dans $\mathbb{Z}^2$

re : Olympiade de math

Posté le 17-03-10 à 18:38

Posté par adrix

Merci c'est sympa, bien vu

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