Petit problème pour un DM sur les suites

Posté par Mitsukiatil Mitsukiatil

Bonjour j'ai reçu un dm sur les suites, et je bloque pour une question, pourriez-vous m'aider s'il vous plait?

Voici l'énoncé et les questions:

On considère les deux suites (Un) et (Vn) définies, pour tout n € N, par:

Un= (3*2^n -4n+3)/2       et   Vn= (3*2^n +4n-3)/2

1°) Soit (Wn) la suite définie par Wn = Un+Vn. Démontrer que (Wn) est une suite géométrique.
2°) Soit (tn) la suite définie par tn = Un-Vn. Démontrer que (tn) est une suite arithmétique.
3°) Démontrer que pour tout n € N, Un= 1/2 (Wn+tn)
4°) Exprimer la somme suivante en fonction de n: Sn= uo + u1+ u2 + ... + un


1°) Wn = 2^n * 3
Wo = 3         W1 = 6             W2 = 12
W1/Wo= 2         W2/W1 = 2       q= 2 (il n'y a pas de contre exemple)
Wn+1/Wn = 2  donc la suite (Wn) est une suite géométrique de raison q=2

2°) tn= -4n+3
to= 3      t1= -1              t2= -5
t1-to= -4                t2-t1 = -4             r= -4 (il n'y a pas de contre exemple)
tn+1-tn = -4 donc la suite (tn) est une suite arithmétique de raison r=-4

3°) 1/2 (Wn+tn) = 1/2 (3*2^n) + (-4n+3) = 1/2  (3*2^n -4n+3) = (3*2^n -4n+3)/2 = Un

4°) Ici je bloque pour cette question, mais j'ai commencé comme ça:
Sn= uo + u1+ u2 + ... + un
Sn= 1/2(Sw+St)

Sw= wo+w1+w2+...+wn = wo* (1-q^(n+1))/(1-q) = 3* (1-2^(n+1))/ -1 = 3* (-1+2^(n+1))=  -3 + 3*2^(n+1) = -3 + 3*2*2^n = -3 + 6*2^n

St= to+t1+t2+...+tn = (n+1)* (to+tn)/2 = (n+1)* (3 -4n+3)/2 = (n+1)*(6-4n)/2= (n+1)*(3-2n)= 3n -2n² +3-2n= -2n² +n +3

et après je bloque pour la somme générale
Sn= 1/2 (Sw+St) = 1/2 ((-3+6*2^n)+(-2n² +n +3)) = 1/2 (-3+6*2^n -2n² +n+3) = 1/2 (6*2^n -2n² +n) = 3*2^n - n² + n/2

Est-ce juste ou je me trompe ?

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

bonjour

j'ai vérifié un peu en diagonale, mais ce que tu as fait a l'air juste.

MM

Posté par Mitsukiatil Mitsukiatil

Merci