"optimisation et géométrie"

Posté par Malbarez974 Malbarez974

SOIT le rectangle ABCD de centre O, de longueur AB=8cm et de largeur BC=4cm.
M est un point du segment[AB].
On note x= AM.
La droite (OM) coupe (CD) en N, et la paralléle à (BD) passant par N coupe (BC) en P.
On cherche à trouver pour quelle(s) valeur(s) de x l'aire du triangle MNP est maximale.

voici les questions:

QUESTION 1/ MONTRER QUE LE Trapéze MBCN A UNE AIRE CONSTANTE.    

QUESTION 2/ Déterminer les aires des triangles BMP et PNC EN FONCTION DE x. En déduire l'aire de MNP que l'on note f(x).    

QUESTION 3/ Montrer que f(x) peut s'écrire sous la forme: f(x)= 8-1sur2(x-4)au caré.
Déterminer pour quelle valeur de x cette est maximale.  


JE VOUS EN PRIE J'AI VRAIMENT BESOIN D'aide ! J'ai besoin d'explications car je n'ai vraiment rien compri j'ai reli et reli essayer de faire mais malheuresement je n'ai rien compri!:    
j'ai vraiment mais vraiment besion d'un  coup de pouce MERCI D'AVANCE je vous remercie de votre compréhension

Edit Coll : présentation

Posté par gaa gaa

bonjour
tu nous dirais bonjour, ce serait encore mieux
Tu as besoin d'aide, OK, mais il me semble tout de même que la réponse à la 1ère question est du niveau d'un très faible en maths.
aire d'un trapèze: (demi somme des longeurs des côtés // multipliée par la distance entre ces 2 droites)
or la comparaison des triangles OMA et ONC montre qu'ils sont égaux (OA=OC et les angles sont égaux les uns parce qu'opposés par le sommet et deux autres comme alternes internes)
donc AM=NC=x
donc MB+NC=AB=8
et la distance entre les 2 droites // du trapèze c'est BC=4
l'aire du trapèze est donc = à la moitié de l'aire du rectangle ABCD

pour l'aire de BMP, il te faut calculer BP, que tu obtiens par Thalès
BP/BC=BM/BA  (BM=8-x)
et l'aire est BM*BN/2
quand tu as trouvé BN, tu as automatiquement PC et comme tu as vu que NC=x, tu as l'aire de PNC.
et si tu as fait une figure correcte, (ce qui n'est vraiment pas sorcier) il ne peut pas t'échapper que f(x)càd l'aire du triangle MNP est égale à l'aire du trapèze à laquelle tu retranches les aires des 2 triangles dont on vient de calculer les aires.
et sauf erreur de ma part, tu dois trouver x(8-x))/2 =(8x-x²)/2
-x²+8x=-(x²-8x)
et si tu connais les identités remarquables, tu peux remarquer que
x²-8x c'est le début de (x-4)²=x²-8x+16
donc x²-8x=(x-4)²-16
donc -(x²-8x)=16-(x-4)²
donc (8x-x²)/2=8-(x-4)²/2
A partir de là, tu vois que cette fonction est = à 8 duquel on retranche un carré (x-4)²/2 qui est forcément positif. (pour rester précis, un carrré divisé par 2, ce qui ne change rien à son signe)
cette différence sera maximum quand ce que l'on retranche est aussi petit que possible.
le plus petit, c'est quand il est égal à 0 donc quand x=4

Posté par Malbarez974 Malbarez974

slt merci beaucoup a gaa! c trés gentil d'avoir répondu et d'avoir pri du temps pour me répondre! mais on dit que l'importance c'est de comprendre et j'ai pas vraiment compri certains point mais il a des points que j'ai compri et je remercie gaa pour cela! mais je voudrais plus de précisions plus de détails car je mi perd j'ai travaillé dessus mais rien a faire j'ai passé 2h DESSUS mais rien ni fé! alor svp vous pourriez maidez avec un peu plus de détails dans les explications! merci de votre compréhension! merci d'avance!  attends des explications avec impatience! merci a vous! je sais que ja suis pas bonne en math mais je souhaite réussir en math et grace a vous si vous me répondé mon souhait sera exoscé! merci atous!   bisous!

Posté par Malbarez974 Malbarez974

svp il y a personne pour m'aider? SVP RéPONDER MERCI  d'avance !

Posté par gaa gaa

si tu me précisais quels sont les points que tu n'as pas compris, je pourrai plus facilement essayer de t'aider

Posté par Malbarez974 Malbarez974

tu peu?

Posté par Malbarez974 Malbarez974

ce que j'ai pas compri c pourquoi MBCN a une aire cnstante c égale a 16 NN?

Posté par gaa gaa

aire du trapèze MBCN= (MB+CN)/2*BC
c'est du cours
je t'ai rappelé la formule dans ma 1ère intervention
BC c'est la distance entre les côtés // du trapèze (= à 4cm)

j'ai essayé de te montrer que les triangles AMO et OCN sont égaux
parce que OA=OC (le centre du rectangle est l'intersection des diagonales et les diagonales dans le rectangle se coupent en leurs milieux)
par ailleurs
angle MAO=angle OCN comme alternes internes
angle MOA=angle NOC (opposés par le sommet)
et les triangles étant égaux on aura
CN=AM
donc BM+CN=BM+AM=AB=8
l'aire sera donc de 8*4*2=16

Posté par Malbarez974 Malbarez974

ok merci beaucoup! mais g besoi n d'aide pour les 2 autres questions tu peux m'expliquer svp? TU m'est d'une grande d'aide merci encore! mais j'ai pas compri les deux autres questions silteplait? merci de ta compréhension c trés gentil!

Posté par gaa gaa

on te demande de calculer les aires des triangles BMP et NPC
ce sont deux triangles rectangles et l'aire d'un triangle rectanglen c'est le 1/2 produit des côtés de l'angle droit
donc pour l'un c'est BM*BP/2
il te faut par conséquent calculer BP
et c'est là qu'intervient le théorème de Thalès (cours de 4ème) qui permet d'écrire
BP/BC=BM/BA
BC=4 BA=8 BM=8-x
donc (tu d

Posté par gaa gaa

suite
tu fais le calcul et tu vois que
BP=(8-x)/2
et l'aire du triangle sera par conséquent
(8-x)²/4

si BP=(8-x)/2
PC=BC-BP=4-(8-x)/2=x/2
donc l'aire de NPC c'est x*x/4=x²/4
f(x) est donc
16 (aire du trapèze) moins l'aire des 2 triangles BMP et CPN
f(x)=16-(8-x)²/4-x²/4

la suite pour plus tard

Posté par gaa gaa

pour la dernière question, je crois tout de même t'avoir donné un maximum d'explications
16-(8-x)²/4-x²/4
=16-  (x²-16x+64+x²)/4=(-2x²+16x)/4=-1/2(x²-8x)
tu reprends mes explications pour voir que cela donne finalement
8-(x-4)²/2
cette expression est maximum quand ce que l'on retranche de 8 est aussi petit que possible.
C'est donc quand ce que l'on retranche est égal à 0 donc quand x=4

Posté par Malbarez974 Malbarez974

ok merci tu ma vraiment aider! tu peu regarder le sujet sur les vecteurs dans la partie géométrie! merci d'avance!

Posté par Malbarez974 Malbarez974

slt  gaa tu peu me réexpliquer la question 2 et 3 si cela ne te dérange pas je n'ai pas compri! tu peu etreb plus détailé stp! merci de ta compréhension! merci d'avance gaa

Posté par Malbarez974 Malbarez974

slt gaa g pas compri! tu peu m'expliquer chaque questions stp! avec plus de détails merci de ta compréhension!

Posté par gaa gaa

je ne vois pas trop ce que je peux encore plus détailler.
1) je t'ai montré que AM=NC par l'égalité de 2 triangles.
j'ai parlé d'angles alternes internes et d'angles opposés par le sommet.
Je ne peux tout de même pas refaire tout le programme de géométrie de 4ème.
2) Thalès, c'est également du programme de 4ème
2 droites parallèles (AC) et MP)
deux sécantes (BA) et (BC)
le théorème dit que dans ce cas de figure on a
BM/BA=BP/BC
seul BP n'est pas connu. Donc par cette relation, on peut calculer la longueur de BP
un triangle rectangle étant la moitié d'un rectangle, l'aire est égale à la moitié de l'aire du rectangle, c'est donc le produit des côtés de l'angle droit divisé par 2.
3) ce n'est que du calcul que je ne peux pas plus détailler.
le but de cette présentation, c'est de ramener f(x) à une différence entre une constante (8) et un terme qui est forcément positif puisqu'il s'agit d'un carré.
et plus ce que tu retranches est petit, plus la différence est grande est elle est donc maximmum quand ce que tu retranches n'existe plus càd quand il est nul.
Et ici c'est le cas quand x=4

Posté par Malbarez974 Malbarez974

slt gaa merci de ta réponse mais si cela ne te dérange pas je préfére tu m'écrit tt les calculs ds l'ordre stp!k je ne compren plus rien! le programme de 4éme depuis lomtemps je le connais!merci de ta compréhension j'aurai besoin d'aide si cela ne te dérange pas! et je voudré voire tt les calculs ds l'ordre des questions pour pouvoir comprendre! merci   j'attends des réponses avec impatience!

Posté par gaa gaa

mais je t'ai développé tous les calculs et expliqué tout ce qui est démonstration.
A distance, je ne peux rien faire de plus pour toi
Désolé
Bon courage

Posté par Malbarez974 Malbarez974

slt stp je te demande juste de me réécrire les réponses avec les numéros des questions! et d'expliquer comment tu as trouvé les résultats! ctout ce que je te demande! merci d'avance réécri moi les réponses a chaque questions stp car tout est mélangé c pourquoi je ne compren pas? stp merci

Posté par gaa gaa


1)
aire d'un trapèze: (demi somme des longeurs des côtés // multipliée par la distance entre ces 2 droites)
or la comparaison des triangles OMA et ONC montre qu'ils sont égaux (OA=OC et les angles sont égaux les uns parce qu'opposés par le sommet et deux autres comme alternes internes)

OA=OC (le centre du rectangle est l'intersection des diagonales et les diagonales dans le rectangle se coupent en leurs milieux)
par ailleurs
angle MAO=angle OCN comme alternes internes
angle MOA=angle NOC (opposés par le sommet)
et les triangles étant égaux on aura
CN=AM
donc BM+CN=BM+AM=AB=8
l'aire sera donc de 8*4*2=16
2)
on te demande de calculer les aires des triangles BMP et NPC
ce sont deux triangles rectangles et l'aire d'un triangle rectanglen c'est le 1/2 produit des côtés de l'angle droit
donc pour l'un c'est BM*BP/2
il te faut par conséquent calculer BP
et c'est là qu'intervient le théorème de Thalès  qui permet d'écrire
BP/BC=BM/BA
tu fais le calcul et tu vois que
BP=(8-x)/2
et l'aire du triangle sera par conséquent
(8-x)²/4

si BP=(8-x)/2
PC=BC-BP=4-(8-x)/2=x/2
donc l'aire de NPC c'est x*x/4=x²/4
f(x) est donc
16 (aire du trapèze) moins l'aire des 2 triangles BMP et CPN
f(x)=16-(8-x)²/4-x²/4

3)

f(x)càd l'aire du triangle MNP est égale à l'aire du trapèze à laquelle tu retranches les aires des 2 triangles dont on vient de calculer les aires.
f(x) est donc
16 (aire du trapèze) moins l'aire des 2 triangles BMP et CPN
f(x)=16-(8-x)²/4-x²/4
=16- (x²-16x+64+x²)/4=(-2x²+16x)/4=-1/2(x²-8x)
tu peux remarquer que
x²-8x c'est le début de (x-4)²=x²-8x+16
donc x²-8x=(x-4)²-16
donc -(x²-8x)=16-(x-4)²
donc (8x-x²)/2=8-(x-4)²/2
A partir de là, tu vois que cette fonction est = à 8 duquel on retranche un carré (x-4)²/2 qui est forcément positif. (pour rester précis, un carrré divisé par 2, ce qui ne change rien à son signe)
cette différence sera maximum quand ce que l'on retranche est aussi petit que possible.
le plus petit, c'est quand il est égal à 0 donc quand

Posté par Malbarez974 Malbarez974

merci c'est vraiment trés détaillé!  par conséquence j'ai tout compri! je suspose que tu a remarquer que je n'aité pas doué en math! une derniére chose pourquoi la valeur maximale de x=4? PEU TU M'éclairer SUR CE POINT!  merci encore!SI J'AI BIEN COMPRI l'aire de BMP=8-x)²/4 et l'aire de pnc=x²/4? merci de ta compréhension! tu peu jeter un coup d'oeil sur les autres articles que j'ai mis! merci d'avance!

Posté par gaa gaa


si tu as la différence
a-b  
a est un nombre
b est une valeur variable
a-b sera le plus grand possible quand b sera le plus petit possible
(8-3=5 est plus petit que 8-2=6 lui-même plus petit que 8-1=7 plus petit que 8-0=8)

ici tu as
8-1/2(x-4)²
plus petit sera le second terme, et plus grand sera la différence

et cette différence sera maximum quand le second terme sera = à 0
et le second terme sera bien égal à 0 quand x-4=0 donc quand x=4

Posté par Malbarez974 Malbarez974

oui ok merci mais il y a plus de calcule a faire le devoir est terminer? et pourquoi La réponse a la question 3 n'est PAS la meme que cellle de l'énoncé je compren pas la queston 3? STP  RP

Posté par Malbarez974 Malbarez974

slt répond stp! répond aux questions ok!

Posté par Malbarez974 Malbarez974

rp stp ok!

Posté par gaa gaa

mais ce que j'ai écrit est bien la réponse à la question 3
j'ai transformé l'aire du triangle appelé f(x) sous la forme demandée et je t'aid fonné la valeur de x pour laquelle l'aire est maximum (et plus que lonquement expliqué le pourquoi de la chose)
c'est tout ce que l'on te demande

Posté par Malbarez974 Malbarez974

merci beaucoup gaa! on n"a plus rien a faire! j'ai plus rien a calculer ?

Posté par Malbarez974 Malbarez974

slt ok merci!

Posté par Malbarez974 Malbarez974

slt je ne comprend pas la question 2 et 3 ET JE NE COMPREND PAS POURQUOI la fonction est égale a 8? ET JE COMPREN COMMENT TU AS FAIT POUR LA QUESTION 3?

Posté par gaa gaa

que puis-je encore t'expliquer  ????????
la question 2) c'est le calcul de l'aire de 2 triangles
J'ai tout détaillé et une fois que l'on avait les côtés de l'angle droit je t'ai rappelé la formule
donnant l'aire d'un triangle.  
puis je t'ai montré que l'aire du triangle que l'on te demandait était la différence entre l'aire du trapèze et celle des 2 triangles rectangles.
et c'est cette aire qui est appeelée f(x)
je t'ai montré ce calcul, je l'ai développé
et je l'ai mis sous la forme
8-1/2(x-4)²
le 8 vient du calcul.
et pour te montrer que cette valeur correspond au maximum de f(x) donc de l'aire du triangle, j'ai longuement expliqué la chose
Relis bien mon texte du 18-06 13h 06 Il n'y a pas de raison que tu ne comprennes pas
Accroche toi et je suis sûr que tu vas y arriver

Posté par Malbarez974 Malbarez974

slt pour trouver f(x) tu as juste développé bé tu ne retouve pas le meme résultat que l'énoncé? ENSUITE tu as retarancher 8 a f(x) est la valeur maximale est 4? Répond stp! merci d'avance!

Posté par gaa gaa

dès le 17/03, j'ai écrit

"et si tu connais les identités remarquables, tu peux remarquer que
x²-8x c'est le début de (x-4)²=x²-8x+16
donc x²-8x=(x-4)²-16
donc -(x²-8x)=16-(x-4)²
donc (8x-x²)/2=8-(x-4)²/2
A partir de là, tu vois que cette fonction est = à 8 duquel on retranche un carré (x-4)²/2 qui est forcément positif. (pour rester précis, un carrré divisé par 2, ce qui ne change rien à son signe)
cette différence sera maximum quand ce que l'on retranche est aussi petit que possible.
le plus petit, c'est quand il est égal à 0 donc quand x=4"


et l'énoncé dit


"QUESTION 3/ Montrer que f(x) peut s'écrire sous la forme: f(x)= 8-1sur2(x-4)au caré.
Déterminer pour quelle valeur de x cette est maximale."  


si tu peux me donner une différence autre que la manière particulière que tu as de l'écrire....

et la raison pour laquelle x=4 est celle qui correpond au maximum de la fonction f(x) a été expliquée au moins 4 fois et ce dès le 17/03 (voir ci dessus)

le 18/03 j'ai écrit

"si tu as la différence
a-b  
a est un nombre
b est une valeur variable
a-b sera le plus grand possible quand b sera le plus petit possible
(8-3=5 est plus petit que 8-2=6 lui-même plus petit que 8-1=7 plus petit que 8-0=8)"

il me semble que je t'ai donné tous les éléments pour que tu rédiges (et surtout comprennes) cet exo.

Posté par Malbarez974 Malbarez974

t sur que bmp est égale a (8-x)aucarré /4 ? POURQUOI?   BMP est pas plutot égale a (4-x)aucarré /4?  

Posté par gaa gaa

je suis sur le départ et n'ai donc pas le temps de tout revoir avec toi
mais on te donne AB=8
et AM=x
donc BM=8-x  et c'est donc bien 8-x qui intervient et non 4-x
en outre l'exo est bouclé et les résultats sont tout à fait logiques.
Tu ne dois pas passer ton temps à tout remettre en cause