f(x)=mx

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f(x)=mx

Posté le 17-03-10 à 13:26

Posté par xMademoiselle

Bonjour a tous , j'ai une petite question ...
En effet , lors d'un exercice , je dois étudier une fonction : f(x)=x^3+6x²+9x/(x+1)²
Puis on me demande de discuter suivant les valeurs de m le nombre de solution de l'equation f(x)=mx
1/ Graphiquement
2/Algébriquement ...

Merci de votre aide

re : f(x)=mx

Posté le 17-03-10 à 13:53

Posté par gaa

bonjour,
A quoi se rapporte ta "petite question" ?
si c'est à la résolution algébrique de la solution de f(x)=mx
tu vois que l'égalité de permet de simplifier par x et tu as alors la relation
(x²+6x+9)-m(x+1)²=0
tu l'écris sous la forme Ax²+Bx+C=0
et tu étudies le delta de cette équation
selon les valeurs de m, il y aura 2:1 ou 0 racines et il y aura par conséquent 2,1 ou 0 points d'intersection (1 correspondant à mx tangente à f(x))

re : f(x)=mx

Posté le 17-03-10 à 14:10

Posté par cailloux

Bonjour à tous,

Citation :
tu vois que l'égalité de permet de simplifier par x

Et on fait sauter le point $O$ ...

Pour le graphique:

$\Delta$ est la tangente en $O$ à la courbe.

$d$ est la parallèle à l' asymptote oblique passant par $O$

les valeurs 1 et 9 vont être cruciales:

re : f(x)=mx

Posté le 17-03-10 à 14:14

Posté par xMademoiselle

En résolution algébrique ce qui me donne Delta = 16m
Donc si m > 0 / 2 pts
si m = 0 / 1 pts
si m < 0 / 0 pts

Cependant , cela ne correspond pas avec le graphique ...

re : f(x)=mx

Posté le 17-03-10 à 14:16

Posté par gaa

Cailloux a bien entendu raison
il faut mettre x en facteur et non simplifier
mais le reste du raisonnement est inchangé
Merci à Cailloux de corriger mon "néfaste empressemnt"

re : f(x)=mx

Posté le 17-03-10 à 14:46

Posté par cailloux

Reprenons le raisonnement algébrique:

Pour $x\not=-1$ :

$f(x)=mx\Longleftrightarrow x\left[(m-1)x^2+2(m-3)x+m-9\right]=0$

La solution $x=0$ qui donne le point d' intersection $O(0,0)$ est toujours présente.

Reste l' équation: $(m-1)x^2+2(m-3)x+m-9=0$

Qui n' est du second degré que si $m\not=1$

Il faut donc envisager le cas:

1) $m=1$ qui donne les points d' intersection $O(0,0)$ et $A(-2,-2)$

2) $m\not= 1$

$\Delta =16m$

-a) $m>0$

On a bien deux racines réelles et distinctes ce qui donne 3 points d' intersection (avec $O(0,0)$ ) sauf dans le cas où l' une des racines est nulle.

-si $m=9$ , on obtient les racines $x_1=0$ et $x_2=-\frac{2}{3}$

et on obtient 2 points d' intersection: $O(0,0)$ et $B(-\frac{2}{3},-6)$

-si $m\not=9$ et $m\not=1$ et $m>0$ , 3 points d' intersection.

-b) $m=0$ : 2 points d' intersection: $O(0,0)$ et $C(-3,0)$

-c) $m<0$ : 1 point d' intersection $O(0,0)$

re : f(x)=mx

Posté le 17-03-10 à 20:39

Posté par xMademoiselle

Oui ! Merci beaucoup . Cependant , je n'ai pas compris Graphiquement

re : f(x)=mx

Posté le 17-03-10 à 21:31

Posté par cailloux

Si $m<0$ , la droite d' équation $y=mx$ est représentative d' une fonction décroissante: la droite est "descendante"

Elle ne coupe la courbe qu' en $O(0,0)$

Si $m=0$ , la droite d' équation $y=0$ est l' axe des abscisses:

Un point de contact en $C(-3,0)$ et un point d' intersection $O(0,0)$

Si $m=1$ , la droite $d$ d' équation $y=x$ est parallèle à l' asymptote.

Elle coupe la courbe en $O(0,0)$ et en un second point.

Si $m=9$ , la droite $\Delta$ d' équation $y=9x$ est tangente à la courbe en $O(0,0)$ ;

Elle recoupe la courbe en un second point et lui est tangente en $O(0,0)$

Dnas tous les autres cas, c' est à dire $m>0$ avec $m\not=1$ et $m\not=9$ :

Il y a 3 points d' intersection ( $O(0,0)$ et 2 autres points).

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