Petite question sur les intégrales

Posté par Iris19 Iris19

Bonjour,

Nous avons aujourd'hui commencé le cours sur les intégrales, mais je bloque déjà sur quelque chose qui semble pourtant assez facile...
Voilà mon problème : il fallait calculer l'intégrale de a à b de la fonction constante f(x) = k. (avec k > 0)
Ça, c'était facile, cela nous donnait k(b-a).
Cependant, il fallait ensuite calculer cette intégrale dans le cas où k < 0. Alors, personnellement, j'ai appliqué la propriété nous disant que si f est négative sur un intervalle, l'intégrale de f est l'opposée de celle dans le cas où f est positive. J'ai donc écrit que l'intégrale de a à b de f(x) = k (k < 0) était égale à -k(b-a).

Le problème est qu'apparemment, ce résultat est faux. Le prof nous a dit que la solution était -(-k)(b-a) = k(b-a) c'est-à-dire la même intégrale que si f était positive !

Je ne comprends pas : pourquoi la propriété citée ci-dessus ne s'applique-t-elle pas ?

Merci d'avance pour toute aide.

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour Iris,

Ta propriété se traduit :
Si (et si intégrable sur ), alors ,
ce qui revient dans ton cas :
Si , alors ...

Posté par Iris19 Iris19

Merci de la réponse Pierre.

Je pense avoir compris ! Je n'avais pas tenu compte des valeurs absolues...
Donc, si je comprends bien, comme lorsque f(x) > 0 j'ai l'intégrale de f(x) de a à b qui est égale à k(b-a), j'aurai lorsque f(x) < 0 l'intégrale de f(x) de a à b qui sera égale à -|k(b-a)| = -|k|(b-a) = -(-k)(b-a) = k(b-a).
Est-ce le bon raisonnement ?

Posté par Pierre_D Pierre_D

Oui, Iris ; mais ne te focalise pas trop là-dessus : ce n'est guère autre chose que de te faire sentir que l'intégrale de sur donne l'aire comprise entre le graphe de f, l'axe des x et les deux droites x=a et x=b, mais en comptant positivement le résultat pour les parties où , et négativement pour les parties où .
En revanche, il faut bien te rappeler que l'on a toujours, si l'intégrale existe :
, quel que soit le signe de elle-même.

Posté par Iris19 Iris19

D'accord. Mais en fait, je ne suis plus certaine de tout comprendre : si l'intégrale représente une aire, pourquoi est-elle négative lorsque la fonction étudiée est négative ? Une aire n'est pas censée toujours être positive ?

Posté par Pierre_D Pierre_D

Tu as parfaitement raison, une aire est toujours positive, mais pas une intégrale : c'est pour cela que l'on dit "l'intégrale donne l'aire ... etc comptée positivement pour les parties où , et comptée négativement pour les parties où .

Posté par Iris19 Iris19

Mh... Je ne comprends pas les termes "comptée positivement" et "comptée négativement". Est-ce l'aire ou l'intégrale que l'on compte positivement/négativement ?

Posté par Pierre_D Pierre_D

C'est l'aire que l'on compte positivement (ou négativement) pour avoir l'intégrale.
Dans ton exemple, si tu prends , et , tu auras :
,
alors que l'aire du rectangle compris entre l'axe des x, la "courbe" d'équation , et les droites et vaut 10.
D'accord ?

Posté par Iris19 Iris19

Ahhh oui je comprends maintenant ! La formule de l'intégrale ne change donc pas, que k soit positif ou négatif, cela reste toujours k(b-a). C'est seulement la valeur de k qui change, et qui détermine le signe de l'intégrale, est-ce cela ?

Posté par Pierre_D Pierre_D

Parfaitement, Iris.

Posté par Iris19 Iris19

Très bien, je vous remercie beaucoup pour cette aide !