exercice qui melange la fonction logarithme et les suites

Posté par coffret-a-jouets coffret-a-jouets

Bonjour a tous =)

mon exercice et le suivant  :
Partie A - on appelle f et g les deux fonctions définies sur l'intervalle [0;+[ par f'x) + ln(1+x)-x et g(x) + ln (1+x)-x+ x²/2

1- etudier les variations de f et de g sur [0; +[
(jai étudier les variations et fais le tableau et jai toruver que g est croisante et que f et décroissante sur [0; +[

2- en déduire que pour tout x >0, x-x²/2 < ln(1+x)< x

je sais pas trop commen mi prendre la es ce que jdoi partir de g croissant donc g(x)>0 ?? ou jdoi dabord prouver que ctes positif ?

Partie B-
On se propose d'étudier la suite (Un) de nombres réels définie par :
U1 = 3/2 et Un+1= Un (1+ 1/(2ⁿ⁺¹)

1- montré par récurence que Un >0 pour tout entier naturel n>1
( jai montré quel etait récurente  en m'aident de mon cour)

2- Montrer par récurence que pour tout entier naturel n>1 :
ln Un = ln (1+1/2)+ ln (1+1/2²)+... +ln (1+1/2ⁿ)
(jché pas trop comment faire pour sa ^^ jveu bien un peu d'aide svp)

3-On pose Sn= 1/2 +1/2²+1/2³+...+1/2ⁿ
et Tn = 1/4+1/4²+1/4³+...+1/4ⁿ

A l'aide de la premiere partie, montrer que :
Sn-1/2Tn< lnUn< Sn

4-Calculer Sn et Tn en fonction de n
En déduire lim Sn et lim Tn ( quand n tend vers +)

merci de m'apporter un peu d'aide =)

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Partie A
2. En effet, tu as les informations. f(0)=0 et f croissante, donc pour on a ce qui prouve que f est positive. Pareil pour g.

Partie B

2. C'est immédiat par récurrence... Prends

3. A nouveau les inégalités démontrées en A-2 donnent immédiatement cette inégalité.

4. et sont des sommes de termes consécutifs de suites géométriques. Tu as des formules pour ça!

Posté par coffret-a-jouets coffret-a-jouets

merci beaucoup je vais pouvoir finir mon dm avec c'est information
Bonne journée =)

Posté par coffret-a-jouets coffret-a-jouets

re   bonjour
désolé de redemander mais j'arrive pas a faire pour la partie B le 3
dou dois je partie ?

merci ^^

Posté par Camélia Camélia

Tu as prouvé en 2 (en prenant ) que



Il te reste à faire la somme pour k variant de 1 à n