Coût total, coût marginal

Posté par Paulines Paulines

J'ai besoin au plus vite d'aide pour cet exercice :
La coût total de fabrication de q centaines de picèes est donné par :
C(q) = q3 ( au cube) - 12q2 ( au carré) + 48q et C(q) est exprimé en milliers d'euros. On note C sa courbe représentative.
1. a Déterminer l'expression du côut marginal : 2q3 -24q+48
   b Déterminer l'expression du cout moyen : q2 -12q +48
2. a Déterminer le tableau de variation : c'est fait
3. Etudier les variations du coût moyen sur ]0;8] Comment faire ?
4. a  Résoudre 3(q-4)2 ( au carré) = 3q2(carré) -24q + 48
b Justifier que le coùut moyen est minimal lorsque le coût moyen est égal au coût marginal
c  Déterminer l'équation de la tangente à C aux points dont l'abscisse esr solution de 4 a
d Que remarquer de la tangente à C lorsque le coût moyen est minimal ?
5- a Etudier les varaiations du coût marginal sur [o;8]; indiquer pour quelle quantité q0 le coût marginal change de sens de variation
b Déterminer l'équation de la tangent T à la courbe C au point d'abscisse q0
c  Déterminer les réels a, b et c tels que :
q3 - 12q2 + 48q - 64 = (q-a)(aq2 +bq + c )
d  Etudier le signe de q3 - 12q +48q -64 sur [0;8]
e Déduire de la question précédente la position de la courbe C par rapport à sa tangente F sur |o;8]
6)  a Résoudre C'(q) = 12
b  Déduire en quels points la tangente à la courbe C est parallèle à la tangente au point d'abscisse 6
7 Tracer les tangentes remarquables et celles étudiées puis la courbe C sur [o;8]

Ce n'est pas un exercice noté mais j'aimerai qu'on me le résolve et m'expliquant les démarches afin de comprendre pour mon devoir en cour que j'ai dans pas longtemps! Merci d'avance !!

Posté par Papy Bernie Papy Bernie

Bonjour,

1) et 2) BON.



CM(x)=q²-12q+48

dont la courbe représentative est une parabole orientée vers les y positifs car le coeff de q² est > 0.

La parabole y=ax²+bx+c avec a > 0 passe par par un minimum pour x=-b/2a

donc CM(q) passe par un minimum pour q=-(12)/2=6

CM(q) décroît sur q]0;6] et croît sur q[6;8]

Tu pouvais aussi calculer la dérivée CM'(q)=2q-12 et chercher son signe.

2q-12 > 0 pour q > 6.

Etc.

Posté par Papy Bernie Papy Bernie

J'ai lu un peu vite ton coût marginal :

coût marginal=Cm(q)=C'(q)=3q²-24q+48

Tu as dû faire une faute de frappe!

Posté par Papy Bernie Papy Bernie

4)

b)

Tu calcules CM(6)=6²-12*6+48

et C marginal : Cm(6)=3*6²-24*6+48

et tu vois que CM(6)=Cm(6)

Posté par Papy Bernie Papy Bernie

J'ai sauté la 4) a) qui permet de répondre à la 4) b):



Ce n'est pas plutôt montrer que :

3(q-4)²= 3q² -24q + 48

On développe le côté gauche :

3(q²-8q+16) qui donne : 3q²-24q+48

Et ensuite résoudre :

3q²-24q+48=0

soit :

3(q-4)²=0

qui donne : q=4

Posté par Paulines Paulines

Merci beaucoup j'essaie de faire déjà ça et je vous redis ! Mais je n'arrive pas du tout à tracer les tangentes mais je vais déjà essayer jusqu'à la 4
Merci !

Posté par Paulines Paulines

Pour la question 2 a il faut déterminer le tableau de variation de la fonction coût total j'ai donc fait :
q3 -12q2 + 48q
3q2 - 24q + 48
= b2 - 4ac
= 0 donc une solution donc j'ai fait = -b / 2a = 4 j'ai fait mon tableau mais je m'aperçois que pour la question 4 a il faut refaire la même chose, est-ce normal ?
Pour la 4b je ne comprends pas, pouvez-vous me détailler la réponse ?

Et pour les questions suivantes aussi.
Merci

Posté par Papy Bernie Papy Bernie



Puis :



En fait, c'est :

C(q)=q³-12q²+48q

C'(q)=3q²-24q+48

C'(q)=3(q²8q+16)

C'(q)=3(q-4)²

Donc C' est tjrs positif ou nul pour q=0 et C(q) tjrs croissant.



Je ne lis pas que l'on demande le tableau de variation à la 4)

Ensuite l'énoncé ne peut pas demander ceci qui est ci-dessous :



Vérifie.

Posté par Papy Bernie Papy Bernie



Je suppose que c'est l'équa de la tgte au point d'abcisse x=4.

Cette équa est de la forme : y=ax+b

Le coeff directeur "a" est donné par C'(4)=0

Donc équa tgte : y=b.

Elle passe par le point x=4 dont l'ordonnée est C(4)=4³12*4²+48*4=64

Donc équa tgte en x=4 à la courbe de C : y=64

Mais peut-être que l'on veut l'équa de la tgte au point d'abscisse x=6.

Ton énoncé n'est pas clair.

Tu devrais tout relire.

Posté par Paulines Paulines

Effectivement il y avait des erreurs dans l'énoncé j'ai donc changé. Il me faudrait l'exercice résolu pout comprendre , je dois regarder ca ce weekend pour mon devoir la semaine prochaine. Merci !
La coût total de fabrication de q centaines de picèes est donné par :
C(q) = q3 ( au cube) - 12q2 ( au carré) + 48q et C(q) est exprimé en milliers d'euros. On note C sa courbe représentative.
1. a Déterminer l'expression du côut marginal : 3q2 -24q+48
   b Déterminer l'expression du cout moyen : q2 -12q +48
2. a Déterminer le tableau de variation du coût total c'est fait :

q3 -12q2 + 48q
3q2 - 24q + 48
= b2 - 4ac
= 0 donc une solution donc j'ai fait  = -b / 2a = 4 j'ai fait mon tableau
3. Etudier les variations du coût moyen sur ]0;8] Comment faire ?

4. a  Effectivement il y a eu une erreur :  Résoudre 3(q-4)2 ( au cube) = q2( au cube) - 12q + 48
b Justifier que le coût moyen est minimal lorsque le coût moyen est égal au coût marginal
c  Déterminer l'équation de la tangente à C aux points dont l'abscisse esr solution de 4 a
d Que remarquer de la tangente à C lorsque le coût moyen est minimal ?
5- a Etudier les varaiations du coût marginal sur [o;8]; indiquer pour quelle quantité q0 le coût marginal change de sens de variation
b Déterminer l'équation de la tangent T à la courbe C au point d'abscisse q0
c  Déterminer les réels a, b et c tels que :
q3 - 12q2 + 48q - 64 = (q-a)(aq2 +bq + c )
d  Etudier le signe de q3 - 12q2 +48q -64 sur [0;8]
e Déduire de la question précédente la position de la courbe C par rapport à sa tangente F sur |o;8]
6)  a Résoudre C'(q) = 12
b  Déduire en quels points la tangente à la courbe C est parallèle à la tangente au point d'abscisse 6
7 Tracer les tangentes remarquables et celles étudiées puis la courbe C sur [o;8]

Posté par Papy Bernie Papy Bernie

Déjà , ce qui n'est pas normal c'est que côut marginal et coût moyen n'aient pas de nom.

Je propose côut marginal =Cm(q).

et coût moyen=CM(q)

Et je refais ce que je t'ai envoyé et que tu n'as pas lu attentivement car tu me renvoies des calculs qu'il faut changer.

1)

a)

Cm(q)=C'(q)=3q²-24q+48

b)

CM(q)=C(q)/q=q²-12q+48

2)

C(q)=q³-12q²+48q

C'(q)=3q²-24q+48


C'(q)=3(q²-8q+16)

C'(q)=3(q-4)²

Donc C' est tjrs positif ou nul pour q=0 et C(q) tjrs croissant.

Il est inutile de calculer delta=0 comme tu as fait !!

3)Je te l'ai fait à 15 h 10 hier mais je recommence en utilisant la dérivée uniquement.

CM(q)=q²-12q+48

CM'(q)=2q-12

Cherchons quand CM'(q) > 0.

2q-12 > 0

2q > 12

q > 6

q--------->0..........................6....................8

CM'(q)---->............-...............0.........+..........

CM(q)----->48........décroît.........12.....croît........16

Car CM(0)=48 : CM(6)=12 ; CM(8)=16

On trouve ça en remplaçant q par ces valeurs dans CM(q)=q²-12q+46

Posté par Papy Bernie Papy Bernie



Je veux bien t'aider mais je ne comprends rien à ce que tu as écrit.

En bas du cadre où tu écris tu as : X²

Tu cliques  dessus et entre les 2 "sup" , tu inscris "2" si c'est au carré ou "3" si c'est au cube.

Est-ce que c'est :

Résoudre:

3(q-4)³ = q³ - 12q + 48---->ça m'étonerait !

J'ai l'impression qu'il y a des carrés ?

Sois claire !!

Posté par Paulines Paulines

4. a  Effectivement il y a eu une erreur :  Résoudre 3(q-4)² = q² - 12q + 48

Je devrais revenir demain dans l'après midi voir ça car ce weekend je ne suis pas là mais dimanche soir je reviendrai afin de comprendre cet exercice et de le finir entièrement !

Posté par Papy Bernie Papy Bernie

Je vais t'en faire le max demain matin et je terminerai avant dimanche soir ... si je comprends l'énoncé !

Reconnais que l'énoncé est plus clair pour la 4) a) !!

Posté par Papy Bernie Papy Bernie

4)
a)

Résoudre 3(q-4)² = q² - 12q + 48

On développe :

3(q²-8q+16)=q²-12q+48

3q²-24q+48=q²-12q+48

2q²-12q=0

2q(q-6)=0--->ligne (1)

Pour qu'un produit de facteurs soit nul , il faut que l'un  des facteurs au moins soit nul.

(1) donne :

q=0 ou q=6

En lisant ton énoncé je n'arrive pas à savoir si q[0;8] ou si q]0;8] ??

Disons donc que la solution de (1) est q=6.

Et on laisse q=0 qui voudrait dire que l'on ne fabrique rien.

Posté par Papy Bernie Papy Bernie

4)

b)



Dans le tableau de variation de la  question 3) , on a vu que CM(q) est minimal pour q=6.

CM(6)=12--->voir tableau plus haut.

Et :

Cm(x)=3q²-24q+48 donc :

Cm(6)=3*6²-24*6+48

Cm(6)=12

Donc :

Le coût moyen est minimal lorsque le coût moyen est égal au coût marginal.

Posté par Papy Bernie Papy Bernie

Je pense que l'on veut une autre démonstration pour la 4) b)

4)

b)

Cm(q)=3q²-24q+48q

CM(q)=q²-12q+48

On va chercher quand Cm(q)=CM(q)

Il faut résoudre :

3q²-24q+48=q²-12q+48

Cette équa a été résolue en 4) a) et a pour solution q=6.

Et on a vu dans le tableau de la 3) que CM(q) est mini pour q=6.

Donc :

Le coût moyen est minimal lorsque le coût moyen est égal au coût marginal.

Posté par Papy Bernie Papy Bernie

4)

c)

Déterminer l'équation de la tangente à C aux points dont l'abscisse est solution de 4 a

Donc équa de la tgte à C au point d'abscisse q=6

Le coeff directeur de la tgte est donné par C'(6) et C'(6)=Cm(6)=12

Donc équa tgte : y=12x+b

Il faut "b" . Elle passe par le point x=6 dont on calcule l'ordonnée que l'on trouve avec C(6):

C(6)=6³-12*6²+48*6=72

Donc la tgte passe par le point (6;72), ce qui permet d'écrire :

72=12*6+b qui donne b=0

Donc équa tgte à C au point d'abscisse : x=0 -->y=12x


4)

d)
Que remarquer de la tangente à C lorsque le coût moyen est minimal ?

Elle passe par l'origine .

Posté par Papy Bernie Papy Bernie

5)

a)

Cm(q)=3q²-24q+48

Cm'(q)=6q-24

Cherchons le signe de Cm'(q).

6q-24 > 0

q > 24/6

q > 4

D'où le tableau de variation :

q-------->0.................4.................8

Cm'(q)--->........-..........0.........+........

Cm(q)---->48....décroît.....0.......croît.....48

Cm(q) change de sens de variation pour q₀=4

Note bien : on aurait pu raisonner tout autrement en remarqaunt que Cm(q)=3q²-24q+48 est représentée par une parabole orientée vers les q positifs car le coeff de q² est > 0 donc elle passe par un minimum pour q=-(-24)/(2*3)=24/6=4 et change de sens de variation pour q₀=4.

Posté par Papy Bernie Papy Bernie

5)

b)



Le coeff directeur de T est donné par C'(4)=3*4²-24*4+48=0

Elle est donc // à l'axe des abscisses et passe par le point d'ordonnée C(4)

et C(4)=4³-12*4²+48*4=64

T a pour équa au point d'abscisse q₀=4 : y=64

Posté par Papy Bernie Papy Bernie

5)

c)

Déterminer les réels a, b et c tels que :
q³ - 12q² + 48q - 64 = (q-a)(aq² +bq + c )

Tu es sûre de ton énoncé?

Je suis sûr que c'est FAUX.

En fait , c'est :

Déterminer les réels a, b et c tels que :
q³ - 12q² + 48q - 64 = (q-a)(q² +bq + c )

J'ai perdu un temps fou à cause de cette FAUTE DE FRAPPE !! Fais attention !!

Il faut développer :

(q-a)(q² +bq + c ) qui donne :

q³+bq²+cq-aq²-abq-ac

soit :

b³+(b-a)q²+(c-ab)q-ac

Et on compare avec :

q³ - 12q² + 48q - 64

Par identification, on voit qu'il faut :

{b-a=-12
{c-ab=48
{ac=64

Et là, je n'ai pas réussi à résoudre ce système de 3 équas à 3 inconnues a, b et c. Désolé !!

Pour contourner l'obstacle, tu peux faire ce que j'ai fait.

Tu rentres dans ta calculatrice :

y=q³ - 12q² + 48q - 64

(la lettre q sera remplacée par x sur la calculatrice).

Tu affiches la courbe : elle coupe l'axe des x en x=4

donc a=4

car : ( q-a)(aq² +bq + c ) s'annule (vaut zéro) pour q=a qui donne :

( q-a)=0

qui explique  que ta courbe coupe l'axe des x au point x=4 (ou q=4)

Avec a=4 , on a facilement : b=-8 et c=16

Donc :

q³ - 12q² + 48q - 64 = (q-4)(q² -8q + 16 )

Tu peux vérifier en développant la partie droite. Tu retrouves la gauche.

Posté par Papy Bernie Papy Bernie

5)

d)



Cela revient à étudier le signe de :

(q-4)(q² -8q + 16 )

(q-4) > 0 pour q > 4 .

Signe de q²-8q+16 :

(q²-8q+16)=(q-4)² qui est tjrs > 0 (ou nul pour q=4)

Donc :

q³ - 12q2 +48q -64 est du signe de (q-4).

Donc :

q³ - 12q2 +48q -64 est < 0 pour q[0;4] et > 0 pour q[4;8]

Posté par Papy Bernie Papy Bernie

5)

e)



Je pense que c'est :



Tu n'es pas à une faute de frappe près !!

C(q)=q³-12q²+48q

Equa tgte T en q=4 :y=64

On aura la position de C par rapport à  T en étudiant le signe de :

C(q)-y mais :

C(q)-y=q³-12q²+48q-64

On a vu que :

q³-12q²+48q-64 est < 0 pour q[0;4] et > 0 pour q[4;8].

Donc pour q[0;4] : C(q)-y < 0 donc C(q) < y donc C est sous T.

Et pour q[4;8] : C(q)-y > 0 donc C(q) >  y donc C est au-dessus de T.

Posté par Papy Bernie Papy Bernie

Il faut corriger en 4) c) :
Donc équa tgte à C au point d'abscisse : q=6-->y=12x



6)  

a )

Résoudre C'(q) = 12

C'(q)=3q²-24q+48

3q²-24q+48=12

3q²-24q+36=0

3(q²-8q+12)=0

On doit résoudre : q²-8q+12=0

=(-8)²-4(1)(12)=16

=4

q₁=(8+4)/2=6

q₂=(8-4)/2=2

6)

b)

Déduire en quels points la tangente à la courbe C est parallèle à la tangente au point d'abscisse 6

Il faut C'(q)=12 car le coeff de la tge en q=6 est 12.

Donc l'autre  point cherché est  q=2

Posté par Papy Bernie Papy Bernie

Je te souhaite bon courage avec un pareil exo et une abscence tout le WE.

Tu peux travailler jusqu'à plus de minuit dimanche !!

Pour tout arranger, moi aussi, j'ai fait une faute de frappe au 4) c).

En bleu foncé : la courbe C.

En bleu-vert la tge T : y=12x

En gris-marron : la tgte // à T au point q=2

En noir : la tgte en q=4.

BON COURAGE !!