intégrale

Posté par n-a-d n-a-d

bonjour,

j'ai un exercice a faire en math et il me pose problème!!
en voici l'énoncé:
pour tout n , on pose In= de 1 a e (lnx)^n dx
-montrer que pour tout x de [1;e], on a (lnx)^n-(lnx)^n+10
-en déduire que la suite ln est décroissante

j'avoue que je ne vois pas comment faire je vous remercie par avance pour votre aide

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Si x est dans on a donc

Regarde

Posté par Camélia Camélia

Erreur de frappe! Bien sur

Posté par totti1000 totti1000

Bonjour n-a-d,
(ln x)ⁿ - (ln x)ⁿ⁺¹=(ln x)ⁿ(1-ln x).
Or pour tout x de [1;e] (1-ln x)0.
De même pour (ln x)ⁿ.
Donc pour tout x de [1;e], on a (ln x)ⁿ-(ln x)ⁿ⁺¹0.
Ensuite calcule I_n-I_n+1.
Bon courage, je repasserai voir si tu as réussi.

Posté par n-a-d n-a-d

pour calculer In - In+1 je prend quelle valeur pour n?
pour n =1 non?

Posté par n-a-d n-a-d

ah mais non je prend l'intégrale qui m'est donné dans l'énoncé!

Posté par n-a-d n-a-d

j'obtiens donc :
de 1 a e (lnx)^n dx- de 1 a e (lnx)^n+1
= de 1 a e (lnx)^n - (lnx)^n+1
et après je fait comment?

Posté par totti1000 totti1000

Fais le pour n dans .
Allez je t'aide à commencer :
I_n-I_n+1==.
Je te laisse conclure...

Posté par totti1000 totti1000

Qu'a t-on fait dans la question précédente ??

Posté par n-a-d n-a-d

oui mais après il ne faut pas que je calcul encore?

Posté par n-a-d n-a-d

bah on a dit que ln(x)^n-(lnx)^n+10
mais cela ne permet pas de dire que la suite est decroissante?

Posté par totti1000 totti1000

Pour x dans [1;e] (ln x)ⁿ-(ln x)ⁿ⁺¹0
donc I_n-I_n+1=0.

Posté par n-a-d n-a-d

d'accord merci
ensuite il me demande de calculer I1 je trouve I1= e ln e
et après il me demande de montrer que In+1=e-(n+1)ln
mais je ne vois pas comment faire...

Posté par totti1000 totti1000

Il doit y avoir un problème dans ton calcul de I₁.
Comment as tu fait ?

Posté par n-a-d n-a-d

I1= de 1 a e (lnx)^1 dx = [lnx] de 1 a e = e ln e -ln 1= e ln e
voila se que j'ai fait

Posté par totti1000 totti1000

Pourquoi [lnx] ???
Il faut une primitive de ln x...

Posté par n-a-d n-a-d

c'est 1/x non?

Posté par n-a-d n-a-d

En prenant 1/x j'obtiens 0 pour I1 est-ce bon?

Posté par totti1000 totti1000

Non la dérivée de lnx est 1/x...
Ici c'est plus compliqué, tu peux faire une intégration par partie de ln x.

Posté par n-a-d n-a-d

oui mais comment je fais alors?

Posté par n-a-d n-a-d

ok je crois avoir trouvé.
j'obtiens I1= e ln e - 0 -e -1
est ce cela?

Posté par totti1000 totti1000

Allez je te le fais pour I₁.
I₁=.
Par partie avec u=ln x u'=1/x v'=1 v=x.
Donc I₁=-=e ln(e)-ln(1)-(e-1)=1.
I₁=1.

Posté par n-a-d n-a-d

et donc ca fait 1 non?

Posté par totti1000 totti1000

Presque c'est +1 à la fin.
et je te rappelle que ln(e)=1.

Posté par n-a-d n-a-d

oui voila je viens de trouvé et donc pour calculer In+1 je fait en fait In+I1 non?

Posté par totti1000 totti1000

Non, il faut faire pareil, intégrer par partie...
I_n+1=
avec u=(ln x)ⁿ⁺¹ u'=(n+1)(ln x)ⁿ v'=1 v=x.
Donc I_n+1=-...

Posté par n-a-d n-a-d

la puissance n+1 me gène comment je peut faire pour la retirer?

Posté par totti1000 totti1000

où???
C'est presque finit :
I_n+1=eln(e)ⁿ⁺¹-ln(1)ⁿ⁺¹-(n+1)I_n=e-(n+1)I_n, car ln(e)=1 et 1ⁿ⁺¹=1.

Posté par n-a-d n-a-d

d'(accord merci,
ensuite il me mette:
montrer que pour tout n de   ln 0 et (n+1)lne

??