Coplanarité de vecteurs

Posté par Suzy_x3 Suzy_x3

Bonjour à tous !

Je ne suis pas sûre de ma réponse à un problème de devoir maison. J'espère que vos connaissances m'aideront !
Voici l'énoncé :

ABCDEFGH est un cube. Les points I, J et K sont les milieux respectifs de [AB], [BF] et [BC]. Enfin L est le centre de gravité du triangle IJK.

On utilise le repère (A ; vec(AB) ; vec(AD) ; vec(AE) ). Les vecteurs EB, AK, AG sont-ils coplanaires ?

J'ai trouvé que oui grâce à un système. Trouvez-vous la même chose ?

Merci de répondre.

Posté par Marcel Marcel

Bonjour,

A(0;0;0)
B(1;0;0)
C(1;1;0)
D(0;1;0)
E(0;0;1)
F(1;0;1)
G(1;1;1)
H(0;1;1)

I(1/2;0;0)
J(1;0;1/2)
K(1;1/2;0)

On a :
vect(EB) (1;0;-1)
vect(AK) (1;1/2;0)
vect(AG) (1;1;1)

Donc :
-vect(EB) (-1;0;1)
2.vect(AK) (2;1;0)

-vect(EB)+2.vect(AK) (1;1;1)
-vect(EB)+2.vect(AK) = vect(AG)
vect(EB), vect(AK), vect(AG) sont coplanaires

Posté par Suzy_x3 Suzy_x3

Bonsoir !

Merci du coup de main ! On trouve la même chose, sauf que j'ai fait avec un système. C'est pareil, n'est-ce pas ?

Posté par Marcel Marcel

Oui

Posté par Suzy_x3 Suzy_x3

Re !

Je bloque sur une autre question de l'énoncé :
H, L et B sont-ils alignés ?

J'ai cherché les coordonnées des points et j'ai calculé les coordonnées des vecteurs HL et HB mais j'ai du mal car je crois que je me suis plantée avec les coordonnées du point L.

Que faire ?  

Posté par Marcel Marcel

Rappel :
x_L = (x_I+x_J+x_K)/3
y_L = (y_I+y_J+y_K)/3
z_L = (z_I+z_J+z_K)/3

On a :
H(0;1;1)
L(5/6;1/6;1/6)
B(1;0;0)

Donc :
vect(HL) (5/6;-5/6;-5/6)
vect(HB) (1;-1;-1)

vect(HL) = (5/6).vect(HB)
vect(HL) et vect(HB) sont colinéaires
H, L, B sont alignés