Arithmétique- nombres premiers entre eux

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Arithmétique- nombres premiers entre eux

Posté le 17-03-10 à 18:13

Posté par marion029

Bonjour j'ai un exercice à rendre pour demain et j'aurais eu besoin de votre aide ...

Alors voilà

1- Soit l'entier n=200
   a) déterminer l'ensemble des diviseurs postifs de n
   b) Soit N le nombre de diviseurs de n et P le produit de ces diviseurs. Vérifier la relation (1) n^N=P²

2- Soit l'entier n=2^a*5^b avec a et b naturels
   a) montrer que le nombre de diviseurs de n est N=(a+1)(b+1)
   b) calculer le produit P de ces diviseurs
   c)l'égalité (1) est elle encore vraie ?
   d) Déterminer l'entier n, de la forme 2^a*5^b sachant que P=20^42

J'ai réussi à déterminer les diviseurs, il s'agit de 1 2 4 5 8 10 20 25 40 50 100 200
et pour la 1b j'ai fait le calcul avec les valeurs numériques ...

Je suis bloquée à partir de la question 2 ...

re : Arithmétique- nombres premiers entre eux

Posté le 17-03-10 à 21:56

Posté par cailloux

Bonsoir,

2)a) Tous les diviseurs de $n$ qui sont des puissances de 2:

$1,2,2^2,\cdots 2^a$ : il y en a $a+1$

Il y a de même $b+1$ diviseurs de $n$ qui sont des puissances de 5;

Un diviseur de $n$ est formé du produit de deux diviseurs respectivement puissance de 2 et de 5.

Il y en a $N=(a+1)(b+1)$

2)b) Si $n$ n' est pas un carré, on peut regrouper ses diviseurs de la manière suivante:

1 et $2^a5^b$

$2 et 2^{a-1}5^b$

$2^2$ et $2^{a-2}5^b$

...

de telle sorte que le produit de 2 diviseurs associés soit $n$

Il y a alors $\frac{N}{2}=\frac{(a+1)(b+1)}{2}$ tels couples.

et $P=n^{\frac{(a+1)(b+1)}{2}}$

Si $n$ est un carré, la formule reste valable.

C' est un début...

re : Arithmétique- nombres premiers entre eux

Posté le 18-03-10 à 00:16

Posté par cailloux

c) L' égalité (1) est donc encore vérifiée.

d) On a donc $P^2=\left(2^a.5^b\right)^{(a+1)(b+1)}=20^{84}$

Soit $2^{a(a+1)(b+1)}.5^{b(a+1)(b+1)}=2^{168}5^{84}$

${a(a+1)(b+1)=168\\b(a+1)(b+1)=84$

D' où: $\{a=2b\\b(2b+1)(b+1)=84$

De la seconde équation, on tire:

$2b^3+3b^2+b-84=0$

Soit $(b-3)(2b^2+9b+28)=0$

donc $\{a=6\\b=3$

et $n=2^6.5^3=8000$

On peut vérifier:

$P^2=(2^6.5^3)^{7\times 4}=(4\times 5)^{84}=20^{84}$

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