Nombres Euleriens
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Nombres Euleriens
Posté le 17-03-10 à 18:17
Posté par 
cafeadicto cafeadicto
Bonsoir,
Ej note
les nombre euleriens définis comme etant le nombre de permutations 
de n éléments ayant exactement j descentes, c'est à dire j endoits ou < \pi (k))
.
Je cherche à montrer que![\frac{\A_{n,j}}{n!}=P(Y\in [j,j+1])](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\frac{\A_{n,j}}{n!}=P(Y\in [j,j+1]))
ou Y est la somme de n variables aléatoires iid de loi uniforme sur [0,1]. Ce résultat est apparement présenté dans "A probabilistic interpretation of Eulerian numbers" de Tanny (1973) que je n'arrive pas a me procurer.
Merci d'avance pour votre aide précieuse
cafeadicto cafeadictoBonsoir,
Ej note
Je cherche à montrer que
Merci d'avance pour votre aide précieuse
re : Nombres Euleriens Posté le 19-03-10 à 18:49
Posté le 19-03-10 à 18:49Posté par PIL PIL
Salut,
J'ai vu ton post où tu cherches la loi de la somme Yn de n va iid de loi uniforme sur [0,1]; je suppose que c'est en relation avec cette question. Pour avoir la loi exacte de Yn tu dois faire le produit de convolution f *n = f*f*f*...*f (n fois) de la densité de la loi uniforme sur [0,1] : f(x) = 1 si 0<x<1, f(x) = 0 sinon. On obtient :
 = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)f(x-t)dt)
et on obtient f *2(x) = 0 pour x<0, x pour 0<x<1, 2-x pour 1<x<2, 0 pour 2<x.
 = \int_{-\infty}^{+\infty} f^{*2}(t)f(x-t)dt)
et on obtient f *3(x) = 0 pour x<0, x2/2 pour 0<x<1, 3/4 - (x-3/2)2 pour 1<x<2, (x-3)2/2 pour 2<x<3, 0 pour 3<x.
On devine que pour f *n on va obtenir sur chaque intervalle [0,1],[1,2],...,[n-1,n] un polynôme de degré n-1; le graphe de f *n se rapprochant toujours plus de celui de la loi normale indiquée par verdurin.
Dans le cas n=3 tu peux vérifier que le lien avec les nombres eulériens est correct : on voit que A3,0=1, A3,1=4 et A3,2=1 et on calcule avec la densité f *3(x) que les probabilités que Y3 soit dans les intervalles [0,1], [1,2], [2,3] sont bien 1/6,4/6 et 1/6 respectivement.
Tout ça est bien joli, mais je ne vois toujours pas de lien direct entre les nombres eulériens et les probabilités ...
PIL PILSalut,
J'ai vu ton post où tu cherches la loi de la somme Yn de n va iid de loi uniforme sur [0,1]; je suppose que c'est en relation avec cette question. Pour avoir la loi exacte de Yn tu dois faire le produit de convolution f *n = f*f*f*...*f (n fois) de la densité de la loi uniforme sur [0,1] : f(x) = 1 si 0<x<1, f(x) = 0 sinon. On obtient :
et on obtient f *2(x) = 0 pour x<0, x pour 0<x<1, 2-x pour 1<x<2, 0 pour 2<x.
et on obtient f *3(x) = 0 pour x<0, x2/2 pour 0<x<1, 3/4 - (x-3/2)2 pour 1<x<2, (x-3)2/2 pour 2<x<3, 0 pour 3<x.
On devine que pour f *n on va obtenir sur chaque intervalle [0,1],[1,2],...,[n-1,n] un polynôme de degré n-1; le graphe de f *n se rapprochant toujours plus de celui de la loi normale indiquée par verdurin.
Dans le cas n=3 tu peux vérifier que le lien avec les nombres eulériens est correct : on voit que A3,0=1, A3,1=4 et A3,2=1 et on calcule avec la densité f *3(x) que les probabilités que Y3 soit dans les intervalles [0,1], [1,2], [2,3] sont bien 1/6,4/6 et 1/6 respectivement.
Tout ça est bien joli, mais je ne vois toujours pas de lien direct entre les nombres eulériens et les probabilités ...
re : Nombres Euleriens Posté le 20-03-10 à 00:23
Posté le 20-03-10 à 00:23Posté par cafeadicto cafeadicto
Merci beaucoup pour ta réponce PIL!
Je ne vois pas clairement le lien entre les probas et les nombres eulériens mais à en croire cet arcticle
(section 4 en particulier), il doit y en avoir un, un peu du moins
cafeadicto cafeadictoMerci beaucoup pour ta réponce PIL!
Je ne vois pas clairement le lien entre les probas et les nombres eulériens mais à en croire cet arcticle
(section 4 en particulier), il doit y en avoir un, un peu du moinsre : Nombres Euleriens Posté le 22-03-10 à 16:25
Posté le 22-03-10 à 16:25Posté par PIL PIL
Salut,
J'ai vu l'article de Tanny (si tu en veux une copie écris ton adresse e-mail sur ton profil). Mais en fait la preuve que tu cherches repose sur 2 affirmations :
1) la loi de la va Yn se trouve dans le livre de W. Feller "An introduction to Probability Theory and its Applications" Vol II. Si Fn(x) est la fonction de répartition de Yn, on a
![2$\rm F_n(x) = \frac{1}{n!} \sum_{j=0}^{[x]}(-1)^j \(n\\j\)(x-j)^n](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?2$\rm F_n(x) = \frac{1}{n!} \sum_{j=0}^{[x]}(-1)^j \(n\\j\)(x-j)^n)
où [x] est la partie entière de x. Cela répond exactement à ton autre post.
2) On peut donc calculer exactement P(Yn
[k-1,k]) et on obtient une expression (E) qui est égale (au facteur n! près) au nombre eulérien 
n,k. Note que Tanny prend une définition différente des nombres eulériens : ils sont définis par une relation de récurrence et correspondent au nombre de permutations de 1,2,...,n qui ont k "montées". C'est la formule de récurrence qui conduit à l'expression (E).
A toi !
PIL PILSalut,
J'ai vu l'article de Tanny (si tu en veux une copie écris ton adresse e-mail sur ton profil). Mais en fait la preuve que tu cherches repose sur 2 affirmations :
1) la loi de la va Yn se trouve dans le livre de W. Feller "An introduction to Probability Theory and its Applications" Vol II. Si Fn(x) est la fonction de répartition de Yn, on a
où [x] est la partie entière de x. Cela répond exactement à ton autre post.
2) On peut donc calculer exactement P(Yn
[k-1,k]) et on obtient une expression (E) qui est égale (au facteur n! près) au nombre eulérien n,k. Note que Tanny prend une définition différente des nombres eulériens : ils sont définis par une relation de récurrence et correspondent au nombre de permutations de 1,2,...,n qui ont k "montées". C'est la formule de récurrence qui conduit à l'expression (E).A toi !
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