Applications linéaires...

Posté par mouloud47 mouloud47

Bonjour à tous!

J'aimerai savoir si quelqu'un peut m'aider sur cet exo sur lequel je bloque désespérément:

E est un -espace vectoriel et fL(E) de sorte que le rang de f soit de 1
1.Montrez qu'il existe un unique tel que f²=f
2.On suppose que f n'est pas un projecteur. Montrez que f-Id est un automorphisme et donnez son automorphisme réciproque en fonction de f

J'ai beau chercher, je n'arrive à rien...

Merci d'avance pour votre aide

Posté par carpediem carpediem

salut

à quoi sert ?

Posté par mouloud47 mouloud47

Ah oui j'ai oublié un lambda, je rectifie:
1.Montrez qu'il existe un unique tel que f²=f

Posté par Mathemagic Mathemagic

Bonsoir,
Calcule la matrice dans une base adaptée, et tu auras f²=tr(f)f.

Posté par mouloud47 mouloud47

merci beaucoup mathemagic mais le problème c'est que c'est un DM sur les applications linéaires et on peut donc pas utiliser les propriétés des matrices (en plus on a presque pas avancé le cours sur les matrices et je comprend pas ce que représente tr(f) ???)

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Sans matrices :

Puisque rg(f)=1, son image est de dimension 1. Soit . Mais , donc il existe un unique tel que . Montre que

Posté par mouloud47 mouloud47

Merci Camélia pour ton aide !
Mais je ne comprend pas pourquoi ce que tu dit garantit l'existence et l'unicité du lambda ?

Posté par Camélia Camélia

Parce que (w) est une base de l'espace Im(f) qui est de dimension 1.