équations différentielles

Posté par Lola92 Lola92

Bonjour !

J'ai un exercice de mon DM auquel il y a quelques questions où je bloque ! Pourriez vous m'aider ? svp

désigne un nombre réel de l'intervalle ]0;1].

1. on se propose d'étudier les fonctioons dérivables sur ]-;1/2[ vérifiant l'équation différentielle:
  (E):y'=y²+y et la condition y(0)=1.
   on suppose qu'il existe une solution y0 de (E) strictement positive sur ]-;1/2[ et on pose sur ]-;1/2[ z=1/y0
Ecrire une équation différentielle simple satisfaite par la fonction z.

j'ai trouvé: Y'=-(Y+1)

2. Les solutions de l'équation différentielle y'=-y sont les fonctions xCexp(-x) où C est une constante réelle.

   a/ démontrer l'existence et l'unicité de la solution z de l'équation différentielle (E'):
      z'=-(z+1) telle que z(0)=1

   b/ Donner l'expression de cette fonction que l'on notera z0

      à cette question je bloque je ne vois pas comment faire.

3. On veut maintenant montrer que la fonction z0 ne s'annule pas sur l'intervalle ]-;1/2[

  a/ démontrer que /(+1)<ln(1+)
     on pourra étudier sur ]0;1] la fonction f définie par: f(x)= ln(1+x)- (x/(x+1))

  b/ En déduire que 1/2<(1/)ln(1+)

4. En déduire que la fonction z[sub][/sub]0 ne s'annule pas sur ]-;1/2[
   Démontrer alrs que (E) admet une solution strictement positive sur ]-;1/2[ que l'on précisera.

Merci d'avance pour votre aide

Posté par raymond raymond

Bonjour.

Tu as donc l'équation différentielle :



On sait que les solutions de cette équation s'obtiennent en ajoutant à toutes les solutions de :



une solution particulière de l'équation complète

L'énoncé te donne les solutions de

Une solution particulière de sera z = 1/

Donc, les solutions de sont :



Comme on cherche en pluss la condition z(0) = 1, cela donne :



Donc, une seule possibilité pour k :



Conclusion : il existe une et une seule fonction vérifiant :

C'est :