Exercice sur les équa diff

Posté par Gnomekiller Gnomekiller

Bonjour,
J'ai un exercice a faire mais je vous avoue que je suis un peu paumé :

On cherche les fonctions strictement positives sur R solutions de l'équa diff (E): y'=2y-y^3

1/ Démontrer que f est solution de (E) ssi la fonction z=1/f² est solution de (E'): z'=-4z+2
2/Résoudre (E') et en déduire les fct solutions de (E)
3/Démontrer que la solution φ de (E) vérifiant φ(0)=1 est définie par φ(x)=rac(2+2e^-4x)/(1+e^4x)
4/Calculer les limites de φ lorsque x-> +inf.

Les équations différentielles ne sont pas mon fort mais là c'est encore pire...
Merci d'avance.

Posté par numero10 numero10

Salut,

Tu as un ssi donc tu dois travailler par équivalence.

Partons de (E')

z'=-4z+2
Or z'=[1/f²]'=-2ff'/f^4

Ainsi

-2ff'/f^4=-4/f² +2

Ce qui est équivalent à

-f'/f^3=-4/f²+2  Bon tu dois voir la suite?Et tu dois pouvoir justifier chaques équivalences?(N'oublies pas que si f est solution elle est strictement poisitive et donc différente de 0)

Posté par Gnomekiller Gnomekiller

Merci beaucoup, mais je vois pas vraiment la suite je suppose qu'il faut raisonner par équivalence à partir de cette dernière étape ?

Posté par numero10 numero10

Non tu dois démontrer qu'il y a une équivalence alors soit tu justifies les équivalences entre chaque étape.Mais bon il me semble que les premieres sont évidentes

Soit tu travailles par implication dans les deux sens.

J'avais oublié de recopié le 2:

-2f'/f^3=-4/f²+2

équivaut à: (car f différente de 0 on peut multiplier le tout par f^3)

-2f'=-4f+2f^3

Equivaut àon divise tout par -2 qui est différent de 0)

f'=2f-f^3

ça ressemble étrangement à (E)?Donc vérifie (E)