Un petit mélange d'endomorphisme et de suite

Posté par neon29 neon29

Bonsoir à tous,

Alors j'ai un exo à faire que j'ai déjà commencé:

Soit E=³. On considère l'endomorphisme de E défini par:

f: E E
   (x,y,z) (y,z,0)

1- Déterminer Ker(f) et Im(f) (famille génératrice et équations caractéristiques sont attendus).

Réponse: Soit le système suivant:

x'=y    
y'=z
z'=0

Pour Ker(f):

0=y
0=z
0=0 (inutile au passage)

Les éléments du noyau sont de la forme (x,0,0) soit x(1,0,0)=xu. {u} est une famille génératrice.

Pour Im(f):

x'=y        
y'=z
z'=0

Im(f) est donc le plan d'équation "z'=0" et les éléments sont de la forme: (x',y',0)=x'(1,0,0)+y'(0,1,0)
                                                                                    =x'v+y'w
{v,w} est un système générateur.

2-On rappelle que pour p1 : f^p=fo...of (p fois)
Calculer f², f³ et f^k

Réponse: f²=(z,0,0) et f³=(0,0,0)
C'est là que j'ai des doutes...

Merci de votre aide

Posté par Nanou2b Nanou2b

Salut,
Pas de doute à avoir, c'est bien ça... Et donc, pour  tout k3, f^k est l'application nulle

Posté par neon29 neon29

Ok merci de ta réponse.

Je continue mais là je bloque:

3-a) On pose I=IdE, l'application identité de E. Simplifier (I-f)o(I+f+f²)

J'ai donc (I-f)o(I+f+f²)= IoI + Iof + Iof² - foI - f² - f³.

Iof=f non ? foI=? j'ai des doutes sur cela.

J'en profite pour poster la 2eme partie de la question:

3-b) Montrer que g=I-f est un automorphisme de E et déterminer g^-1

Sachant que f est un endomorphisme puis-je en déduire que g en est un également? Ainsi il ne me resterait plus qu'à démontrer la bijectivité.

Une autre question plus générale: A quoi sert l'algèbre linéaire? Je me doute bien qu'on ne nous l'enseigne pas "juste pour faire joli", mais par exemple dans un métier d'ingénieur?

Merci de votre aide

Posté par lafol lafol

Bonjour

I est neutre pour la composition des applications : pour tout x, Iof(x) = I(f(x))=f(x) et foI(x) = f(I(x))=f(x), donc Iof=foI=f

Question 3 : la question 2 montre exactement que I-f et I+f+f² sont réciproques l'une de l'autre ....

l'algèbre linéaire sert (entre autres) à utiliser des manières de calculer propres aux vecteurs (ceux de la géométrie classique) avec d'autres objets que les vecteurs de la géométrie classique
Du coup, on peut avoir des raisonnements "visuels" inspirés de la géométrie pour par exemple minimiser des intégrales ....

Posté par neon29 neon29

ok donc la simplification çà va, mais pour l'automorphisme, je pige pas trop le truc...

Posté par lafol lafol

un automorphisme, c'est une application linéaire bijective d'un espace vectoriel dans lui même....
l'égalité du 2) te montre la bijectivité ! dire uov = I, ça revient à dire v =

Posté par neon29 neon29

dire uov = I, ça revient à dire v = u^-1 Ca pas de soucis.
Tu parles de l'égalité du 2) mais je vois pas où j'ai démontré une égalité.

Je le fais comme en cours:

f : x'=y     g=I-f :  x'=x-y      
    y'=z              y'=y-z
    z'=0              z'=-z

Si f est un endomorphisme, cela implique-t-il que g=I-f l'est aussi?
Pour passer endomorphisme --> automorphisme je dois montre la bijectivité mais je vois pas où cela parait évident.

Merci de votre aide et du temps que vous m'accordez

Posté par lafol lafol

oops, c'était au 3)a) : tu as montré que (I-f)o(I+f+f²)=I, non ?

Posté par neon29 neon29

Bah je trouve pas çà en fait, je détaille:

(I-f)o(I+f+f²)= IoI + Iof + Iof² - foI - fof - fof²
              = I + f +f² - f -f² + f³

Mais d'après ce que j'ai trouvé précédemment pour k3, j'ai f^k= vecteur nul de ³

Donc j'ai bien l'identité. donc g o (I+f+f²)= I cad que I+f+f²= g^-1.

C'est bien ca?

En fait j'ai trouvé g^-1 mais je vois pas où j'ai montré que g est un automorphisme...

Merci

Posté par neon29 neon29

Par là, je veux dire, en quoi le fait de trouver g^-1 montre que c'est un automorphisme.

Posté par neon29 neon29

Personne pour me sauver de ce guet-apens?

Posté par neon29 neon29

Ptet que je m'explique mal.

Mon interrogation, c'est que certes, j'ai trouvé g^-1 l'application réciproque, mais est-ce que le seul fait d'avoir trouvé g^-1 me permet de dire que g est un automorphisme?

Pour résumer, comment passe-t-on de f endomorphisme à g=I-f automorphisme?

Si quelqu'un aurait la réponse je suis preneur

merci

Posté par lafol lafol

dire que u est bijective, ça revient à dire qu'il existe une application v qui vérifie uov = vou = I, et alors v = u^-1 ....