dérivabilité

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dérivabilité

Posté le 17-03-10 à 20:01

Posté par jeyjey

J'aurai besoin d'un petit coup de main pour montrer que la fonction suivante f(x)=(1/3)(X+3)(

(9-X²)) n'est pas dérivable en -3 et en 3. J'ai essayer avec lim de (f(a+h)-f(a))/h lorsque h tend vers 0 et de même en 3 mais je trouve dans les deux cas 0, ce qui n'est pas possible car à la calculatrice en ces points la dérivée indique ERROR donc fonction non dérivable en ces points.

Si quelqu'un peut m'aider! Merci d'avance

re : dérivabilité

Posté le 17-03-10 à 21:48

Posté par Hiphigenie

Bonsoir,

Pourquoi ne calcules-tu pas la dérivée ?

Dès la 1ère ligne (sans simplification) tu verras que $\sqrt{9 -x^2}$ est au dénominateur et qu'il serait nul si x = 3 ou si x = -3. Ce qui n'est pas possible dans R.

Posté le 18-03-10 à 22:21

Posté par jeyjey

Oui merci bien,
mais cepandant n'y a t-il pas un moyen de le démontrer à l'aide avec la limite de (f(a+h)-f(a))/h lorsque h tend vers 0 ???

re : dérivabilité

Posté le 18-03-10 à 23:09

Posté par Hiphigenie

$\textrm f(x) = \frac{1}{3}(x + 3)\sqrt{9 - x^2}$

Cette fonction est définie sur [-3 ;3]

Nous allons calculer $f'(3^{-})$ puisque x ne peut tendre vers 3 que par valeurs inférieures à 3.

Dans la suite, nous aurons : h

0, h < 0.

$\textrm f(3 + h) = \frac{1}{3}([(3 + h) + 3]\sqrt{9 - (3 + h)^2}$

$\textrm f(3 + h) = \frac{1}{3}(6 + h)\sqrt{9 - (9 + 6h + h^2)}$

$\textrm f(3 + h) = \frac{1}{3}(6 + h)\sqrt{-6h - h^2}$

$\textrm f(3) = 0$

$\textrm f(3 + h) - f(3) = \frac{1}{3}(6 + h)\sqrt{-6h -h^2}$

$\textrm \frac{f(3 + h) - f(3)}{h} = \frac{\frac{1}{3}(6 + h)\sqrt{-6h - h^2}}{h}$

$\textrm \frac{f(3 + h) - f(3)}{h} = \frac{\frac{1}{3}(6 + h)\sqrt{h^2(-\frac{6}{h} - 1)}}{h}$

$\textrm \frac{f(3 + h) - f(3)}{h} = \frac{\frac{1}{3}(6 + h)(-h)\sqrt{-\frac{6}{h} - 1}}{h}$

$\textrm \frac{f(3 + h) - f(3)}{h} = \frac{1}{3}(6 + h)(-1)\sqrt{-\frac{6}{h} - 1}$

$\textrm \lim_{h\to 0^{-}}{\frac{f(3 + h) - f(3)}{h}} = \lim_{h\to 0^{-}}{\frac{1}{3}(6 + h)(-1)\sqrt{-\frac{6}{h} - 1}} = \frac{1}{3}(6)(-1)(+\infty) = -\inft$

Tu peux faire un calcul analogue pour $f'(-3^{+})$

Posté le 19-03-10 à 16:17

Posté par jeyjey

Ah oui d'accord. Merci bien Hiphigénie

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