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derivée de l'inverse, d'un quotient

   
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premièrederivée de l'inverse, d'un quotient

#msg2937905 Posté le 17-03-10 à 20:16
Posté par Profilashley65 ashley65

bonjour à tous, nous avons commencer le chapitre sur les derivées, et j'ai un peu de mal, j'ai donc un exercice à faire pour demain et je n'y arrive pas, si vous pouviez m'aider...

Considérons une fonction g=1/V oû v est dérivable en a. on suppose v(a)différent de 0.
Notons t(h) le taux d'accroissement de g en a.

a) Vérifiez que t(h)= (1/v(a+h))-(1/(v()a))/h

b) Deduisez-en que:
t(h)= -((v(a+h)-v(a))/h) x 1/v(a+h) x v(a)

2) on admettra le résultat suivant:

v étant dérivable en a, lim v(a+h)= v(a), et on pourra utiliser les propriétés intuitives suivantes:
                                    h->0
- la limite d'un produit est le produit des limites
- la limite d'un quotient est le quotient des limites(si les dénominateurs sont nuls).
Expliquez pourquoi:

lim  t(h) = - v'(a)/ (v(a))₂

3) considérons une fonction f = U/v et supposons que u et v sont dérivables en a et que v (a)différent de 0/
expliquez pourquoi f'(a) =  ( u'(a)v(a)-u(a)v'(a) )/ (v(a))₂


voila, cet exercice est long et je ne comprends pas vraiment, un peu d'aide serait la bienvenue

bonne soirée
re : derivée de l'inverse, d'un quotient#msg2938078 Posté le 17-03-10 à 21:38
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Bonsoir,

Où en es-tu ?
derivée de l'inverse, d'un quotient#msg2938117 Posté le 17-03-10 à 22:00
Posté par Profilashley65 ashley65

merci de me repondre
et bien je suis passée à d'autres exercices, j'avais vraiment du mal avec celui-la...
re : derivée de l'inverse, d'un quotient#msg2938123 Posté le 17-03-10 à 22:03
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

que désires-tu ?
derivée de l'inverse, d'un quotient#msg2938148 Posté le 17-03-10 à 22:19
Posté par Profilashley65 ashley65

j'ai du mal à faire la première question
re : derivée de l'inverse, d'un quotient#msg2938160 Posté le 17-03-10 à 22:30
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

voici le a)

a) Par définition, le taux d'accroissement t(h) de g en a est égal à \frac{g(a+h) - g(a)}{h}

Or g(x) = (\frac{1}{v})(x) = \frac{1}{v(x)}

On a alors : g(a+h) = (\frac{1}{v})(a+h) = \frac{1}{v(a+h)}

et  g(a) = (\frac{1}{v})(a) = \frac{1}{v(a)}.

Par conséquent :

t(h) = \frac{g(a+h) - g(a)}{h} = \frac{\frac{1}{v(a+h)- \frac{1}{v(a)}}}{h}



Le reste va suivre dans quelques minutes.
re : derivée de l'inverse, d'un quotient#msg2938164 Posté le 17-03-10 à 22:33
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie



Pardon, je ne l'ai pas vu même après un aperçu...

Ceci est plus correct.


Par conséquent : t(h) = \frac{g(a+h) - g(a)}{h} = \frac{\frac{1}{v(a+h)}- \frac{1}{v(a)}}{h}
derivée de l'inverse, d'un quotient#msg2938175 Posté le 17-03-10 à 22:38
Posté par Profilashley65 ashley65

merci beaucoup, j'ai compris la question a) grace a toi
re : derivée de l'inverse, d'un quotient#msg2938181 Posté le 17-03-10 à 22:44
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

voici le b)

t(h) = \frac{\frac{1}{v(a+h)}- \frac{1}{v(a)}}{h} = \frac{\frac{v(a) - v(a+h)}{v(a+h).v(a)}}{h} = {\frac{v(a) - v(a+h)}{v(a+h).v(a).h} = \frac{v(a) - v(a+h)}{h}.\frac{1}{v(a+h)v(a)} = - \frac{v(a+h) - v(a)}{h}.\frac{1}{v(a+h)v(a)}
re : derivée de l'inverse, d'un quotient#msg2938190 Posté le 17-03-10 à 22:52
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

Voici la question 2.

\textrm\lim_{h\to 0}{t(h)} = \lim_{h\to 0}{- \frac{v(a+h) - v(a)}{h}.\frac{1}{v(a+h)v(a)} } =-\lim_{h\to 0}{\frac{v(a+h) - v(a)}{h}} . \lim_{h\to 0}{\frac{1}{v(a+h)v(a)}} \\ =-\lim_{h\to 0}{\frac{v(a+h) - v(a)}{h}} . \frac{1}{\lim_{h\to 0}{v(a+h)} \lim_{h\to 0}{v(a)}}} = -\frac{v'(a)}{v(a).v(a)} \\= -\frac{v'(a)}{v(a)^2}

édit Océane
re : derivée de l'inverse, d'un quotient#msg2938202 Posté le 17-03-10 à 23:02
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie


Voilà la fin...

On vient de démontrer que (\frac{1}{v})'(a) = -\frac{v'(a)}{v(a)^2}

\textrm f'(a) = (\frac{u}{v})'(a) = (u.\frac{1}{v})'(a) = u'(a). \frac{1}{v}(a) + u(a). (\frac{1}{v})'(a) = u'(a). \frac{1}{v}(a) + u(a).(-\frac{v'(a)}{v(a)^2}) = u'(a). \frac{1}{v(a)} - u(a).\frac{v'(a)}{v(a)^2} = \frac{u'(a).v(a) - u(a).v'(a)}{v(a)^2}
derivée de l'inverse, d'un quotient#msg2938204 Posté le 17-03-10 à 23:03
Posté par Profilashley65 ashley65

merci beaucoup beaucoup! j'ai etudié en details ce que tu m'as repondu, j'ai tout compris maintenant!
bonne soirée
re : derivée de l'inverse, d'un quotient#msg2938205 Posté le 17-03-10 à 23:04
Posté par ProfilHiphigenie Hiphigenie

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