Limites/Suites

Posté par nassima nassima

Bonsoir à tous!
Je dois faire des exercices de maths sur les suites pour vendredi mais je bloque sur quelques questions!J'aimerais donc solliciter votre aide pour comprendre l'exercice
Voici l'énoncé :
La suite (un) est définie pour tout naturel non nul n par un=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+ ... + 1/(n+n) .
1.Calculer u1,u2,u3.
J'ai réussi pour u1,je trouve  1/2 ,pour u2 j'ai 3+2/6+22 par contre je n'arrive pas à trouver u3 et je ne suis même pas sûre d'avoir bon pour u2 :S !!
2.un est la somme de n termes.Quel est le plus grand?le plus petit?
je pense que le plus petit = 1/(n+1) et le plus grand = 1/(n+n).
Déduiser en que, pour tout naturel non nul n , : n/(n+n)unn/(n+1) , puis la limite de la suite (un).
C'est surtout dans cette partie de la question que je n'arrive pas à savoir quoi faire !
Merci d'avance et bonne fin de soirée

Posté par nassima nassima

pas de volontaires ? :S

Posté par nassima nassima

svp c'est très important!!

Posté par Yzz Yzz

bonsoir,
En écrivant "rac" pour racine:
u(1)=1/2: OK
u(2)=1/(2+1) + 1/(2+rac(2)) = 1/3 + 1/(2+rac(2)) = [2+rac(2)+3]/(6+3rac(2))=(5+rac(2))/(6+3rac(2))

Posté par nassima nassima

merci j'ai retrouvé le même calcul ,en fait je m'étais trompé :$ ,sinon pour u3 je fait la même chose sauf que je remplace n par 3 et que "j'allonge" le calcul d'une addition ...? merci encore de m'avoir répondu

Posté par Yzz Yzz

Je viens de calculer u(3): c'est un truc de dingue!!!
Mon résultat: u(3)=[33+7rac(2)+7rac(3)+rac(6)]/[9+3rac(2)+3rac(3)+rac(6)]
Mais bon, peu importe... L'important doit être après!

Posté par nassima nassima

Aïe mais c'est bizarre je trouve pas la même chose pour u2 j'ai u2= (22 +3)/(6+32) ... comment ça se fait ?? :S merci!

Posté par nassima nassima

ah j'ai compris en fait je crois que tu as additioné (2+3) pour avoir le "5" mais on peut pas puisque c'est 22,soit une multiplication !!

Posté par Yzz Yzz

Je reprends:
u(2)=1/(2+1) + 1/(2+rac(2)) = 1/3 + 1/(2+rac(2))=[2+rac(2)]/[3(2+rac(2))] + 3/[3(2+rac(2))]
Le numérateur est donc: 2+rac(2)+3=5+rac(2) et le dénominateur: [3(2+rac(2))] = 6+3rac(2)

Posté par nassima nassima

ah oui c'est de ma faute,j'ai tendance à oublier de mettre le "+" entre le n et la racine,sinon je vais essayé de faire u3 je te dirais si j'obtiens le même résultat !

Posté par nassima nassima

j'y arrive paaaas c'est trop de calculs :'(

Posté par Yzz Yzz

OK.
En attendant:
C'est le contraire, car:
1<n donc rac(1)<rac(n) donc 1+rac(1)<n+rac(n), et en passant à l'inverse, l'inégalité change de sens...

Posté par nassima nassima

aaah oui c'est vrai,je suis tête en l'air ^^ merci de l'aide !!après pour la 2ème partie de la question il faut faire un encadrement?! merci

Posté par Yzz Yzz

Pour le calcul de u(3), comme je te le dis, c'est un truc de dingue... Faut garder la tête froide, et faire les calculs "un par un". De toutes façons, cela n'a pas d'importance pour la suite...

Posté par Yzz Yzz

Pour la suite:
u(n) est composé de n termes. Il est donc supérieur à n fois le plus petit d'entre eux, et inférieur à n fois le plus grand: tu as ainsi la double inégalité demandée.

Posté par nassima nassima

c'est un jeu de mot la fin de la phrase... ? je pense que je vais pas me casser la tête à faire tout le calcul et que je vais essayer de faire le reste de l'exo!! comment fait-on pour la limite d'une suite aussi compliqué ?

Posté par nassima nassima

j'ai pas compris :S

Posté par Yzz Yzz

"Jeu de mots": ...Involontaire!!!
Je reprends pour l'inégalité:
u(n) est composé de n termes. Le plus petit d'entre eux est 1/(n+rac(n)), donc chacun d'entre eux est supérieur ou égal à 1/(n+rac(n)), et donc, comme il y en a n, leur somme est supérieure ou égale à n1/(n+rac(n)), c'est à dire à n/(n+rac(n)). Donc u(n)n/(n+rac(n)).
On raisonne de même pour l'autre côté.

Posté par nassima nassima

Aaaaah ok désolé si je semble bouchée en maths j'ai un vieux fou comme prof qui nous fait faire pleins de chapitres en même temps :S ! merci de ton aide mtn pour les limites je sais pas du tout comment procéder !!

Posté par Yzz Yzz

Tous les profs de maths sont un peu fous quelque part!!
Pour la limite, c'est "le théorème des gendarmes", tu connais?

Posté par nassima nassima

vite fait le fou en a parlé deux secondes et j'ai déjà oublié de quoi ça parlait ^^"!

Posté par Yzz Yzz

On a: n/(n+rac(n))<u(n)<n/(n+1).
La limite en +infini de n/(n+rac(n)) est égale à 1, et celle de n/(n+1) aussi. Donc celle de u(n) aussi, car elle est encadrée par deux suites qui convergent vers 1 (de même que le bandit qui est encadré par les deux gendarmes qui se dirigent vers le fourgon, il n'a pas le choix, faut qu'il y aille aussi: c'est ça, le "théorème des gendarmes"...)

Posté par nassima nassima

ceci expliquant cela,tout commence à se mettre en place!et bien je te remercie beaucoup pour ton aide cher compatriote !à présent je vais attaquer un autre exo,je te préviendrais en cas de problèmes merci beaucoup !!

Posté par Yzz Yzz

OK
A un de ces jours peut-être