majoration et intégrale

Posté par eleonore eleonore

bonsoir j'ai quelques difficultés à finir cet exercice:
Soit f D¹([a,b],) . On suppose que |f'| est majorée par M et que f(a)=f(b)=0
montrer que l'on a |f [a,b](b-a)²M/4

on sait que |f'|M
donc par croissance de l'intégrale f(b)-f(a)(b-a)M
mais le truc c'est que ça fait 0
je pense que pour faire apparaitre le carré il faut intégrer 2 fois M entre a et b mais je ne vois pas comment trouver l'autre cote de l'inégalité

Posté par verdurin verdurin

Bonsoir,
Comme on veut majorer on peut supposer f positive sur [a,b].
Dans ce cas la courbe de f est contenue dans un triangle isocèle de sommets et
Reste à calculer l'aire de ce triangle.

Et à rédiger de façon acceptable.

Posté par eleonore eleonore

comment avez-vous trouver les coordonnées du 3e point ?

Posté par verdurin verdurin

|f'| est majorée par M
Donc f(a+h)M h et f(b-h)M h

Posté par eleonore eleonore

et ces deux dernières relations sont issues d'une propriété ?

Posté par rhomari rhomari

vous voulez dire de sommets (a,0) (b,0) et ( , M )
et meme avec cette rectification on ne peut pas assurer que la courbe de f soit dans le triangle sauf si f est C¹ ...

Posté par verdurin verdurin

Merci pour la correction des coordonnées du troisième sommet rhomari. Il y a des fautes de frappes qui sont impardonnables, et celle ci en est une.

Pour ta seconde remarque j'ai interprété D¹ en C¹
en fait je n'ai pas vraiment vu fD¹([a,b],) j'ai lu fC¹([a,b],) sans me poser de questions.

Ceci étant dit, je ne connais pas le sens de la notation D¹
Et si f n'est pas C¹ la majoration donnée est fausse, et on peut même s'interroger sur le sens de |f'|M.

Posté par rhomari rhomari

de rien et c est tout a fait humain pourquoi impardonnables ;on en commet des tonnes  et c est plutot gratifiable ta disponibilité benevole ...

Posté par Narhm Narhm

Bonjour,

Quand vous parlez de D¹([a,b],R) il s'agit bien de l'espace vectoriel des fonctions dérivables une fois ?

verdurin> Pourquoi |f'|M n'aurait pas de sens. Il s'agit d'une majoration donnée en tout point x de [a,b] sur la dérivée de f ( qui existe par hypothèse ), on n'a pas besoin de continuité ici, je comprends pas le probleme ?

Donc finalement la dérivée de f n'est pas continue mais on peut quand même utiliser le théoreme des accroissement finis et en particulier son inégalité :
Pour tout x,y[a,b], .

On en tire que , et comme f(a)=f(b)=0, le graphe de |f| est contenu dans le triangle ABC ou , , .
Ainsi :


Sauf erreur bien sur.