Exercice sur les probabilités.

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Exercice sur les probabilités.

Posté le 18-03-10 à 11:02

Posté par Jeanne33

Bonjour, j'ai un dm de maths à faire pour demain et le premier exo est sur les probabilités.
Le voila :

Un petit parking comporte 9 places numérotées de 1 à 9. On s'intéresse uniquement aux trois premiers véhicules utilisant le parking un certain jour et on suppose qu'aucun véhicule ne quitte le parking avant l'arrivée du troisième véhicule.
On note : - V1, le premier véhicule de la journée se garant dans le parking
- V2, le deuxième véhicule se garant dans le parking (à une place différente de celle du véhicule V1)
- V3, le troisième véhicule de la journée se garant dans le parking (à une place différente de celles des véhicules V1 et V2)
On suppose que les conducteurs des trois véhicules choisissent leur place de parking au hasard et on appelle résultat de cette expérience aléatoire le triplet : (numéro de la place occupée par V1, numéro de la place occupée par V2, numéro de la place occupée par V3) . (l'expérience aléatoire peut dont être assimilée à un tirage sans remise)

1) Déterminer le nombre de résultats possibles.

2) Calculer, en justifiant vos réponses, la probabilité des évènements suivants :
A : "les trois véhicules occupent une place portant un numéro impair"
B : "les trois véhicules occupent une place portant un numéro pair"
C : "V1 est le seul véhicule qui occupe une place portant un numéro impair"
D : "un seul des trois véhicules occupe une place portant un numéro impair"
E : "il y a exactement deux véhicules sur les trois qui occupent une place portant un numéro impair"

3) A chaque résultat de cette expérience aléatoire, on associe X le nombre de véhicules occupant une place portant un numéro impair. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique.

CE QUE J'AI FAIS :

1) 9x8x7 = 504

2) p(A) = (5x5 + 5x4 + 5x3) / 504 = 60/504 = 5/42
p(B) = (4x4 + 4x3 + 4x2) / 504 = 36/504 = 1/14
p(C) = (5x5 + 4x4 + 4x3) / 504 = 53/504

Je suis meme pas sur que ce soit juste... Merci de m'aider !

re : Exercice sur les probabilités.

Posté le 18-03-10 à 11:29

Posté par cailloux

Bonjour,

1) 504 oui.

2)a) Il y a 5 places de numéro impair.

Donc $5\times 4\times 3=60$ placements favorables et $P(A)=\frac{60}{504}=\frac{5}{42}$

2)b) Il y a 4 places de numéro pair.

Donc $4\times 3\times 2=24$ placements favorables et $P(B)=\frac{24}{504}=\frac{1}{21}$

2)c) $V_1$ a 5 choix possibles et les 2 autres véhicules ont $4\times 3=12$ placements favorables.

Soit en tout $5\times 12=60$ placements favorables et $P(C)=\frac{60}{504}=\frac{5}{42}$

re : Exercice sur les probabilités.

Posté le 18-03-10 à 11:33

Posté par Jeanne33

Merci!
Par contre pour le reste je ne sais vraiment pas comment faire ....

re : Exercice sur les probabilités.

Posté le 18-03-10 à 11:54

Posté par cailloux

2)d) Si c' est le véhicule $V_1$ qui occupe une place de numéro impair (les 2 autres occupant une place de numéro pair):

Il y a $5\times 4\times 3=60$ possibilités.

Même chose si $V_2$ occupe une place de numéro impair ou si $V_3$ occupe une place de numéro impair.

Il y a donc en tout 180 placements favorables.

et $P(D)=\frac{180}{504}=\frac{5}{14}$

2)e) Il y a 3 manières de choisir les 2 véhicules occupant une place de numéro impair.

Ces 2 véhicules ont $5\times 4=20$ manières d' occuper 2 places de numéro impair.

Et le 3ème véhicule a 4 choix pour un emplacement de numéro pair.

Donc au total $3\times 20\times 4=240$ placements favorables.

$P(E)=\frac{240}{504}=\frac{10}{21}$

3) $X$ peut prendre les valeurs 0,1,2 ou 3

$P(X=0)=P(B)=\frac{1}{21}$

$P(X=1)=P(D)=\frac{5}{14}$

$P(X=2)=P(E)=\frac{10}{21}$

$P(X=3)=P(A)=\frac{5}{42}$

On a donc la loi de $X$ (On peut vérifier que la somme des probabilités vaut 1).

$E(X)=\Bigsum_{i=0}^3p_ix_i=\frac{5}{3}$

$V(X)=\Bigsum_{i=0}^3p_ix_i^2-[E(X)]^2=\frac{5}{9}$

A vérifier bien sûr...

re : Exercice sur les probabilités.

Posté le 18-03-10 à 12:16

Posté par Jeanne33

J'ai pas encore tout regardé mais je ne comprends pas bien le p(D), désolé les probabilités c'est pas pour moi ...

re : Exercice sur les probabilités.

Posté le 18-03-10 à 12:46

Posté par cailloux

Je reprends le 2)d):

Comment faire pour avoir 1 véhicule et un seul sur un emplacement de numéro impair ?

Soit le premier véhicule arrivé occupe cette place de numéro impair et il a 5 choix possibles

Les deux autres véhicules occupant un emplacement de numéro pair auront $4\times 3=12$ placements possibles.

Donc au total $5\times 12 =60$ placements possibles.

Soit le second véhicule arrivé occupe une place de numéro impair.

et on a encore au total 60 placements possibles de la même manière que précédemment.

Soit le 3ème véhicule arrivé occupe une place de numéro impair.

et on a encore au total 60 placements possibles de la même manière que précédemment.

Donc en tout $3\times 60=180$ placements favorables pour l' événement $D$

Mieux comme ça ?

re : Exercice sur les probabilités.

Posté le 18-03-10 à 15:29

Posté par Jeanne33

D'accord, merci j'ai compris.
Mais un dernier petit truc, etes vous sur pour le p(E) car moi j'aurai fais : (5x5 + 5x4 + 4x4)/ 504 = 61/504

re : Exercice sur les probabilités.

Posté le 18-03-10 à 18:44

Posté par cailloux

Citation :
moi j'aurai fais : (5x5 + 5x4 + 4x4)/ 504 = 61/504

Comment obtiens-tu 61 cas favorables ? Je ne vois pas à quoi correspond ton calcul...

Citation :
etes vous sur pour le p(E)

On n' est jamais sûr de rien mais ici, la somme des probabilités de la loi de $X$ est bien égale à 1, alors...

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