Problème géometrie (quel niveau ?)

Posté par fabrice91 fabrice91

Bonjour,

Ayant depuis longtemps fini mes études (mon Bac D est vieux de 25 ans), je me retrouve confronté à un problème de géométrie que je n'arrive pas à résoudre.
J'ai beau me balader sur les sites proposant diverses règles, je pense qu'il m'en manque quelques unes pour le résoudre...
Voici le problème :

Soit un repère orthonormé O,i,j
Soit deux points B et C de coordonnées connues dans ce repère
Quelles sont les coordonnées du point A telles que le triangle ABC soit un triangle équilatéral.

Les pistes que j'ai exploré :
J'ai retrouvé les formules qui permettent de mesurer la distance d'un vecteur :
AB² = (X_B-X_A) + (Y_B-Y_A)
Comme nous sommes dans un triangle équilatéral on a AB=BC=CA donc AB²=BC²=CA²
Mais avec cette formule je me retrouve avec 2 équations et 4 inconnues.

Autre piste :
En prenant le point H sur le segment BC et qui soit la hauteur de A, on a un triangle rectangle AHC (ou AHB) et avec Pythagore on obtient :
AC² = AH² + HC²
Ce qui me fait une équation supplémentaire...

Quelle autre formule est utilisable pour continuer ?
J'ai remarqué également qu'il y a deux solutions possibles A et A' pour ce triangle.
J'essaye de faire un schéma pour le poster...

Merci pour votre aide !

PS : la finalité de la chose est que je cherche à placer ces 3 points qui me serviront ensuite chacun de centre de 3 cercles pour construire un diagramme de Venn...

Posté par gaa gaa

Bonjour
dans un triangle équilatéral de côté a il est aisé de montrer que la hauteur est égale à a3/2  (pythagore ou sinus de 60°)
tu écris l'équation de la médiatrice de [BC] passant
par le milieu A' de BC (xA'=(xB+xC)/2 et itou pour yA') et tu calcules les coordonnées d'un point de cette droite dont la distance à A' est de BC3/2
il y a bien entendu 2 points qui satisfont à la condition

Posté par fabrice91 fabrice91

Donc en te lisant et en recherchant quelques infos sur le net, il me semble qu'il faille faire ceci :
1- écrire l'équation de la droite BC
2- en déduire l'équation de la médiatrice
3- résoudre cette équation pour un point dont la distance est BC3/2
J'ai à peu près fait les points 1 et 2, je me penche sur le 3 !!!

Posté par fabrice91 fabrice91

Point 1 :

Posté par fabrice91 fabrice91

Point 2 :

Posté par fabrice91 fabrice91

Mince, j'avais préparé 2 posts pour faire mes démonstrations mais je vois qu'on ne peut pas éditer ses propres posts ???

Alors pour le point 1 :

La droite passant par BC aura une équation de la forme y = ax+b
Nous connaissons les coordonnées de B(x_B,y_B) et C(x_C,y_C) :
Nous avons donc les 2 équations :
(1) y_B = ax_B + b
et
(2) y_C = ax_C + b

de (2) on déduit (3) b=y_C-ax_C

on remplace b dans (1) : y_B = ax_B + y_C-ax_C

on obtient a = (y_B - y_C) / (x_B - x_C)

on remplace a dans (3) b = y_C-x_C(y_B - y_C) / (x_B - x_C)

En développant on obtient (4) b = (x_By_C - x_Cy_B)/(x_B - x_C)

Et donc la droite de formule :

y = [(y_B - y_C) / (x_B - x_C)]x + (x_By_C - x_Cy_B)/(x_B - x_C)

Posté par fabrice91 fabrice91

Pour le point 2 :

La médiatrice y = a'x + b' de la droite y = ax + b a un coefficient directeur a' de -1/a

soit a' = (x_C - x_B) / (y_B - y_C)

Ce qui donne une équation de la médiatrice du type :

(2) y = [(x_C - x_B) / (y_B - y_C)]x + b'

On connait un des points de la médiatrice qui est le centre du segment BC et dont les coordonnées sont :

x = (x_C + x_B) / 2
y = (y_C + y_B) / 2

On remplace x et y dans (2) pour obtenir b' :

b' = (y_C + y_B)(y_B - y_C) / 2(x_C - x_B)(x_C + x_B)

L'équation de la médiatrice est donc :

y = [(x_C - x_B) / (y_B - y_C)]x + (y_C + y_B)(y_B - y_C) / 2(x_C - x_B)(x_C + x_B)

(vive le copier/coller !!!)

Bon, en avant pour la 3eme étape...je sèche un peu pour l'instant...

Posté par fabrice91 fabrice91

Bon ça fait trop de choses !!!
On devrait donc faire AA' = BC3/2

Avec le point A de coordonnées ( x , [(x_C - x_B) / (y_B - y_C)]x + (y_C + y_B)(y_B - y_C) / 2(x_C - x_B)(x_C + x_B) puisqu'il fait partie de la médiatrice
Et A' ( (x_C+ x_B) / 2 , (y_C+ y_B) / 2 )

Donc imaginez la formule de AA' = BC3/2 une fois développé cela doit être interminable !!!

Une manière de simplifier tout ça ?
merci

Posté par gaa gaa

exprimé littéralement, cela parait compliqué
mais tout est exprimé en fonction des coordonnées de B et de C qui à priori, auront tout de même des valeurs numériques.

si l'équation de (BC) est px+qy+r=0
tu peux écrire
AA'=lpxA+qyA+rl/(p²+q²)=3/2
xA et yA satisfaisant également à l'équation de la médiatrice

je ne vois rien de plus simple

Posté par fabrice91 fabrice91

Un ami ingénieur m'a fourni la solution, transmise par écrit par un autre intermédiaire donc je n'ai pas eu les explications directement et certaines parties restent floues pour moi !!!

On a donc :
- le point B (x_B , y_B),
- le point C (x_C , y_C),
- le milieu de BC nommé A' ((x_B+x_C)/2 , (y_B+y_C)/2)
- et le vecteur BC(x_C-x_B , y_C-y_B)

Ensuite la relation aussi déjà vue AA' = BC(3/2)
Donc AA'/BC = (3/2)

Pour un vecteur (a,b), son vecteur orthogonal sera (b,-a) car leur produit scalaire est nul.

On a donc AA'(-(y_C-y_B) , x_C-x_B)

Viens ensuite une notion de vecteur unitaire (qui m'a perdu...) pour finir par :

A(x_A' +/- AA'/BC(y_C-y_B) , y_A' +/- AA'/BC(x_C-x_B)

On remplace par les valeurs du début pour obtenir :

x_A = (x_B+x_C)/2 +/- (y_C-y_B)(3/2)
y_A = (y_B+y_C)/2 +/- (x_C-x_B)(3/2)

Merci pour votre aide.