les sous espace vectoriel

Posté par ludelu1981 ludelu1981

Bonjour j'ai un exercice où j'ai unpeu de mal. Voici l'énoncé
a) Montrer que E = {(x, y, z) ³|x + y + z = 0} est un sev de ³
Cette question, j'ai réussi.

b) Montrer que F = {(x, x, x)|x} est un sev de ³.
J'ai également réussi en appliquant la même méthode qu'à la question précédente.

c) Montrer que E et F sont supplémentaire dans ³
Pour cette question j'ai écris que E et F sont des expace vectoriel de ³ donc EF est un sous espace vectoriel de ³ mais je ne sais pas si ça suffit.

d) Calculer la projection p1 sur E parallélement à F. Je ne sais pas.

e) Quelle est la projection p2 sur F parallèlement à E. Je ne sais pas non plus.

Merci d'avance pour votre aide. Ludovic

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

c) Evidemment que ça ne suffit pas! Il faut montrer que tout élément X de s'écrit de manière unique comme somme d'un élément de E (c'est lui et d'un élément de F (qui est

Posté par rhomari rhomari

ou bien remarquer que E est de dim 2 et F de dim 1 et E F = {}

Posté par Camélia Camélia

Salut rhomari . mais vu les questions suivantes, j'optimise! J'aurai tout en même temps...

Posté par ludelu1981 ludelu1981

Merci alors voici ce que j'ai compris en relisant mon cours (cours par correspondance)
Pour la question c on doit montrer que l'intersection est nul et que la somme des dimension est trois.

Alors en ce qui concerne la somme de dim :
Pour F, il contient qu'un seul vecteur donc dim(F) = 1
Pour E : (x, y, z) dans E ssi z = -x - y c'est à dire
(x, y, z) = x(1, 0, -1) + y(0, 1, -1).
Ainsi la famille {(1, 0, -1), (0, 1, -1)} est génératrice de E donc dim E = 2
EN conclusion dim E + dim F = 3

Pour leur intersection est ce que si je dis que x + x + x = 0 soit x = 0 peut affimer que EF = 0

Merci d'avance de me dire si j'ai tout faux ou pas.
Ludovic
PS je ne sais pas comment faire pour montrer la proposition de Camélia dans son message de 14:28

Posté par Camélia Camélia

Pour l'instant c'est OK. Tu as bien démontré qu'ils sont supplémentaires. Enfin, F est de dimension 1 parce que le vecteur (1,1,1) à lui tout seul forme une base.

Mais les applications et des questions suivantes sont bien telles que je les ai décrites. Donc tu prends un vecteur (x,y,z) quelconque et tu détermines dans E et dans F tel qu'il soit la somme de ces vecteurs.

Posté par ludelu1981 ludelu1981

Merci camélia. Donc si je comprend bien je traite les question d et e en même temps.
Autrement dit je doit trover a et b tel que a (x1, y1, z1) + b(x2, y2, z2) = (x, y, z)
Est ce bien ça. Je suis un peu perdu sur les deux dernière questions. Désolé
Ludovic

Posté par Camélia Camélia

Non, il n'y a pas de a et b. Tu cherches juste avec le premier dans E et le second dans F.

Posté par MacErmite MacErmite

Pour la question (a), tu as montré que le vecteur nul appartient à E ?

Posté par rhomari rhomari

salut Camélia

Posté par ludelu1981 ludelu1981

MacErmite, la réponse à votre question est oui, par hasard, vous faites une licence par alternance vous aussi?.

Sinon, Camélia si je comprend bien on a
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) d'où
x = x1 + x2 ; y = y1 + y2 et z = z1 + z2
Or on sait que F = {(x, x, x) | x³
Donc x1 = y1 = z1
Et d'autre part E = {(x, y, z) | x + y + z = 0} donc x2 + y2 + z2 = 0
Au final on obtienr :
x = x1 + x2, y = x1 + y2 et z = x1 + z2
Donc (x, y, z) = (x1 + x2, x1 + y2, x1 + z3)

Est ce que c'est un peu correcte ou pas du tout. Merci d'avance. Ludovic

Posté par Camélia Camélia

Oui, c'est bien l'idée. Pourquoi tu te décourages?



Je reprends tes notations: Si le premier vecteur est dans F, il s'écrit . Si le second est dans E, il s'écrit (j'ai repris ta base de E).

Le système devient



En faisant la somme on trouve et après c'est facile de récupérer les autres (on les veut en fonction de x,y,z...

Posté par ludelu1981 ludelu1981

Merci infiniement Camélia. J'ai compris ce que vous avez fait? JE ne me décourage pas mais étudier par correspondance ce n'est pas toujours facile.

Sinon, si je continue, comme on sait que x1 = y1 = Z1 alors on peut en déduire que
y1 = (x + y + z)/3 de même z1.

Et donc cette réponse corresponda à P1 ou P2.

Ensuite si je comprend bien je fais pareil avec x2 et j'obtiens x2 = x - x1 en remplaçant x1 par ce qu'on a trouvé précédemment. De même pour y2 et z2.
Ainsi j'ai trouvé x2 = (2x - y - z)/3
y2 = (-x -2y + z)/3
et z2 = (-x + 3y) / 3

Est ce que c'est ça? Merci encore. Et longue vie à ilemaths.
Ludovic

Posté par Camélia Camélia

Oui, c'est ça! Attention, on a pas mal changé de numérotation. est à valeurs dans E et à valeurs dans F.

A la prochaine!

Posté par ludelu1981 ludelu1981

Thank you. Ludovic