Les suites numériques !

Posté par Jeanne33 Jeanne33

Bonjour, je bloque sur mon DM et j'aurai besoin d'aide !

On considère la suite (Un) définie par U0= 6 et U(n+1) = (Un)²+4 / 2Un et on admettra que Un reste toujours strictement positif, pour tout entier positif n.

1) Calculer U(n+1) - 2. En déduire que, pour tout entier positif n, on a U(n+1) 2
Remarque : Vu que U0 est aussi supérieur a 2, on admettra pour le reste de l'exercice que Un 2, pour tout entier positif n.

2) Montrer que U(n+1) - Un = (2-Un)(2+Un) / 2Un , pour tout entier positif n

3) En déduire, en justifiant votre réponse, le sens de variation de la suite (Un)

4) Donner, en justifiant votre réponse, un majorant de la suite (Un)

5) On considère la suite (Vn) définie par Vn  = -2 / Un
a) Déterminer, en justifiant votre réponse, le sens de variation de la suite (Vn)
b) Donner, en justifiant votre réponse, un majorant et un minorant de la suite (Vn)

CE QUE J'AI FAIS :

1) U(n+1)- 2 = ((Un)² + 4 - 4Un )/ 2Un
mais comment je justifie ?

2) U(n+1) - Un = (Un² + 4 - Un x 2Un ) / 2Un = (4 -Un²) / 2Un =  (2-Un)(2+Un) / 2Un

3) On a Un = f(n) avec f définie par f(x) = (x² + 4) / 2x
f'(x) = (2x²-8 ) / (2x)²
Mais je ne sais pas comment faire pour un tableau de signe ...

Merci de m'aider!

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour Jeanne,

1) Il faut commencer par montrer que (une petite récurrence) ; ensuite ne te suggère-t-il rien en matière d'identité remarquable ?

3) la question 2) a montré que est le produit de trois facteurs dont deux positifs et un négatif  : il est donc négatif, et il n'y a rien à ajouter pour en conclure que la syuite est décroissante

Posté par Jeanne33 Jeanne33

1 ) Je vais pas démonter que Un 0 car on le sait déja ? je comprends pas vraiment ...

Posté par Jeanne33 Jeanne33

c'est bon en fait .
Par contre pour les 4 et 5 je ne sais pas du tout donc svp aidez moi

Posté par Pierre_D Pierre_D

D'accord Jeanne, "on le sait" parce qu'on nous demande de l'admettre ; donc, dans , le dénominateur est positif ; et le numérateur ?