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Matrice
Posté le 18-03-10 à 19:05
Posté par 
Vladi Vladi
Bonjour,
j'ai un petit problème:
Si on a N une matrice à 3 lignes, 3 colonnes et si N^3=0, comment justifier que rg N
2 ?
La correction que je ne comprends pas énonce: "N^3=0. N n'est pas inversible donc rg N<3 d'où rg N2 ."
Je ne comprends pas les deux implications...
Merci!
Vladi VladiBonjour,
j'ai un petit problème:
Si on a N une matrice à 3 lignes, 3 colonnes et si N^3=0, comment justifier que rg N
2 ?La correction que je ne comprends pas énonce: "N^3=0. N n'est pas inversible donc rg N<3 d'où rg N
2 ."Je ne comprends pas les deux implications...
Merci!
re : Matrice Posté le 18-03-10 à 19:09
Posté le 18-03-10 à 19:09Posté par neves neves
une matrice inversible à un rang égal à la dimension de l'espace. or n'étant pas inversible, N ne peut pas être de rang 3 donc soit 0,1 ou 2.
neves nevesune matrice inversible à un rang égal à la dimension de l'espace. or n'étant pas inversible, N ne peut pas être de rang 3 donc soit 0,1 ou 2.
re : Matrice Posté le 18-03-10 à 19:18
Posté le 18-03-10 à 19:18Posté par Vladi Vladi
Ok alors pourquoi une matrice inversible à un rang égal à la dimension de l'espace?
Merci bcp!
Vladi VladiOk alors pourquoi une matrice inversible à un rang égal à la dimension de l'espace?
Merci bcp!
Pourriez-vous réexpliquer?re : Matrice Posté le 18-03-10 à 19:32
Posté le 18-03-10 à 19:32Posté par Vladi Vladi
(je ne fais que débuter dans les matrices et leurs liens avec les applications linéaires)
Vladi Vladi(je ne fais que débuter dans les matrices et leurs liens avec les applications linéaires)
re : Matrice Posté le 18-03-10 à 19:36
Posté le 18-03-10 à 19:36Posté par neves neves
en fait tout dépend de comment tu as définis l'inversibilité de ta matrice et les caractérisations que t'as vu.
qu'est ce que pour toi une matrice inversible ?
neves nevesen fait tout dépend de comment tu as définis l'inversibilité de ta matrice et les caractérisations que t'as vu.
qu'est ce que pour toi une matrice inversible ?
re : Matrice Posté le 18-03-10 à 19:44
Posté le 18-03-10 à 19:44Posté par Vladi Vladi
On a : A une matrice de Mn(K). A est inversible ssi: il existe A' élément de Mn(K), A*A'=A'*A=In. Ensuite on a un lien avec les applications linéaires:
soit E K-ev de dimension n, de base B =(e1,...,en), f un endomorphisme de E , A = MatB(f). Alors A est inversible ssi f est bijectif
Vladi VladiOn a : A une matrice de Mn(K). A est inversible ssi: il existe A' élément de Mn(K), A*A'=A'*A=In. Ensuite on a un lien avec les applications linéaires:
soit E K-ev de dimension n, de base B =(e1,...,en), f un endomorphisme de E , A = MatB(f). Alors A est inversible ssi f est bijectif
re : Matrice Posté le 18-03-10 à 19:52
Posté le 18-03-10 à 19:52Posté par neves neves
voilà on utilise: A inversible ssi f est un isomorphisme.
=Mat(f(e_1),...,f(e_n))
dans un certaine base (e_1,...,e_n).
f envoie une base sur une base donc,...,f(e_n)))
est une base de M_n1(K)
ceci prouve que les colonnes de A sont libres donc que rg(A)=rg(famille formée par les colonnes)=n
ok ?
neves nevesvoilà on utilise: A inversible ssi f est un isomorphisme.
f envoie une base sur une base donc
ceci prouve que les colonnes de A sont libres donc que rg(A)=rg(famille formée par les colonnes)=n
ok ?
re : Matrice Posté le 18-03-10 à 20:11
Posté le 18-03-10 à 20:11Posté par Vladi Vladi
ok j'ai compris! Et enfin pourquoi a-t-on:
N^3=0
N n'est pas inversible ?
Plus généralement, pourquoi une matrice nilpotente n'est pas inversible?
Vladi Vladiok j'ai compris! Et enfin pourquoi a-t-on:
N^3=0
N n'est pas inversible ?Plus généralement, pourquoi une matrice nilpotente n'est pas inversible?
re : Matrice Posté le 18-03-10 à 20:31
Posté le 18-03-10 à 20:31Posté par neves neves
on revient à ta première déf., si N inversible, il existe D tq ND=I donc cela voudrait dire que N^2=0 donc N=0 qui n'est pas inversible.
en fait oui un nilpotent n'est pas inversible.
(sauf si E={0}, alors à ce moment là, l'endomorphisme nul est nilpotent et inversible (puisque c'est le seul endomorphisme de E) mais enfin ce cas n'est pas intéressant...=
neves neveson revient à ta première déf., si N inversible, il existe D tq ND=I donc cela voudrait dire que N^2=0 donc N=0 qui n'est pas inversible.
en fait oui un nilpotent n'est pas inversible.
(sauf si E={0}, alors à ce moment là, l'endomorphisme nul est nilpotent et inversible (puisque c'est le seul endomorphisme de E) mais enfin ce cas n'est pas intéressant...=
re : Matrice Posté le 18-03-10 à 21:29
Posté le 18-03-10 à 21:29Posté par Vladi Vladi
ah oui d'accord et pourquoi N=0 n'est pas inversible? Son inverse c'est lui-même?
Vladi Vladiah oui d'accord et pourquoi N=0 n'est pas inversible? Son inverse c'est lui-même?
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