Intégration, formule de taylor

Posté par 321iom 321iom

Bonjour, voici mon problème :

Soit f:[0;1] une confction de classe C3. Montrer que :
1/n*f(k/n)=f(t)dt-1/2nf'(t)dt+1/(12n²) *f"(t)dt+O(1/n³).

(la somme est de k=0 a n-1 et les intégrales de 0 a 1)

puis en déduire un développement asymptotique de
1/k
Avec k allant de n a 2n-1.

Pour la premiere partie, je ne sais pas trop, je sais qu'en prenant x_k=k/n, j'ai la somme qui vaut :
f(x_k)(x_k+1-x_k) et je sais que par passage a la limite quand n tend vers plus l'infini, j'ai précisement cette somme qui est égale au premier terme de ce que je dois trouver (logique puisque les autres termes tendront vers 0).
Cependant je ne sais pas comment trouver les autres termes, il semblerait que cela ait un rapport avec la formule de Taylor, mais je ne vois pas lequel.

Enfin pour la seconde question, j'ai pensé a faire un découpage de ma somme :
1/k=1/nn/k  
         =1/nf(x)-1/nf(x) avec f(x)=1/x
la premiere et seconde somme allant de n a 2n-1, la troisieme de 0 a 2n-1 (que je peux calculer en remplaçant m=2n, et avec la formule de la question 1) et la derniere somme allant de 0 a n-1 (encore une fois j'utiliserai sans doute la formule^^) .

Voila ! en somme la seconde question me semble réglée (le reste est purement calculatoire, ce qui pour l'instant ne pose pas encore de problème^^) mais si je suis dans l'erreur n'hésitez pas a me corriger.
Mon plus gros probleme réside dans la premiere question, merci et bonne soirée =)

Posté par 321iom 321iom

Une petite idée pour me décoincer ? ^^

Posté par rhomari rhomari

f(t)=f(k/n)+(t-k/n)f'(k/n)+f"(k/n)(t-k/n)²+f'''(c_k)((t-k/n)³) pour tout t entre k/n et (k+1)/n ,avec ck entre k/n et (k+1)/n .le dernier terme tu peut le majorer par (M=supf''')M 1/n³ ainsi
|f(t)-f(k/n)-(t-k/n)f'(k/n)-f"(k/n)(t-k/n)²|
M 1/n³
et tu integre entre k/n et  (k+1)/n et tu sommes....

Posté par rhomari rhomari

...lire  f"(k/n)/2! (t-k/n)²..