exercice variable

Posté par choupy90 choupy90

Bonjour, voici l'exercice ou jai besoin daide:

On fait de cycles de cultures de bactéries dont certaines sont de type A et les autres de type B. Lors de la culture, la proportion de bactéries A est invariante dans le temps. Voici le protocole étudié:
Soit N un entier supérieu à 2.
Cycle 0: on dispose au départ de N bactéries dont k₀ sont d'un type A avec k₀ compris entre 0 et N. On laisse pousser la culture pour avoir un nombre de bactéries très grand devant N. On pose p=k₀/N et q= 1 - p .

Cycle 1: On préleve N bactéries avec lesquelles on fait une nouvelle culture.
Cycle 2,3,etc : On répète l'opération précédente.
On désigne X_k le nombre de bactéries de type A dans l'échantillon de taille N prélevé au début du cycle k. Ainsi X₀ est constante et égale à k₀.
On étudie les variables X_k. On utilise la convention ( N ) =0 si i>N ou i <0 (i parmis N)
                                                                           ( i )

PARTIE A:
1) Quelle est la loi de X₁ ? Montrer que P(X₁=i)=( N ) pⁱ(1-p)^N-i
                                                                     ( i )

2) Que vaut l'espérance de X₁? démontrer ce résultat.
3) Que vaut la variance de X₁?
On rapelle qu'on suppose que la culture ne change pas les proportions de bactéries de type A.
4) Soit n,i et k des entiers naturels. Montrer que:
               P(X_n+1=i |X_n=k)= ( N )( k/N )ⁱ(1 - k/N)^N-i
                                        ( i )  

Voila merci beaucoup

Posté par Pierre_D Pierre_D

Bonjour Choupy,

Je suis un peu perplexe, car tout cela est quasi-immédiat si on sait ce qu'est l'alternative répétée et la loi binomiale qui va avec.
Le plus dur est alors de déterminer la moyenne et la variance, si l'on est censé avoir oublié leurs valeurs pour la loi binomiale.