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Suites de fonctions.

   
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licenceSuites de fonctions.

#msg2939287 Posté le 18-03-10 à 20:04
Posté par ProfilE_McDo E_McDo

Bonjour, bonsoir. Voici l'exercice:

Citation :
On pose x0 et n, fn(x)=e-x^n, et on définit In=0+fn(t)dt.
1) Étudier la convergence simple sur [0;+[ de la suite de fonctions (fn)n. [C'EST FAIT.]
2) Montrer que h(u)=ue-u vérifie h(u)<1 u1. En déduire que si t1 0<fn(t)<1/tn. [FAIT.]
3) Après avoir justifié la convergence de l'intégrale généralisée, montrer lim1+fn(t)dt=0 quand n+. [FAIT.]
4) Y a-t-il convergence uniforme de (fn) sur [0;1]? Et sur [0;1[? [FAIT.]
5) Soit ]0;1[. Calculer lim 01-fn(t)dt quand n+ en justifiant soigneusement votre réponse. [PAS RÉUSSI.]
6) Déterminer lim01fn(t)dt quand n+. En déduire enfin la lim In quand n+. [PAS FAIT.]


Je vois comment déduire la limite de In, mais sans répondre à la question 5) et au début de la question 6) ça va être dur de trouver.
Ce sont donc la question 5) et le début de la question 6) qui me posent problème.
Ça doit être évident mais là je ne vois pas...
C'est pourquoi éclairez-moi de votre lumière!
Merci d'avance pour votre aide.
re : Suites de fonctions.#msg2939730 Posté le 18-03-10 à 22:48
Posté par Profilrhomari rhomari

1 \le fn(t)\le e-(1-\epsilon)n on integre on trouve
1-\epsilon \le \int_0{1-\epsilon}fn(t) \le (1-\epsilon)e-(1-\epsilon)n.....
\int_{1-\epsilon}^1 fn(t)<\epsilon)(majore fn(t) par 1)...
re : Suites de fonctions.#msg2939742 Posté le 18-03-10 à 22:55
Posté par Profilrhomari rhomari

1 \le fn(t)\le e-(1-\epsilon)n on integre on trouve

1-\epsilon \le \Bigint_0^{1- \epsilon }fn(t)

\le (1- \epsilon)e-(1- \epsilon )n.....

\Bigint_{1- \epsilon }^1 fn(t)<\epsilon)(majore fn(t) par 1)...
re : Suites de fonctions.#msg2939793 Posté le 19-03-10 à 00:41
Posté par ProfilE_McDo E_McDo

Bonsoir.

Je n'ai pas compris comment vous avez trouvé 1fn(t)e-(1-)n.
En étudiant les variations de fn, sauf erreur, j'ai trouvé que 0<fn1...
re : Suites de fonctions.#msg2940286 Posté le 19-03-10 à 18:15
Posté par Profilrhomari rhomari

3$ \text la fonction est decroissante entre 0 et (1- \epsilon ) \\ donc  e^{-(1-\epsilon)^n} \le f_n(x) \le 1
re : Suites de fonctions.#msg2940302 Posté le 19-03-10 à 18:24
Posté par Profilrhomari rhomari

rectification du post 18-03-10 à 22:55
5$ \text 1 \ge fn(t)\ge e^{-(1-\epsilon)^n }on integre on trouve \\ \\ 1-\epsilon \ge \Bigint_0^{1- \epsilon }fn(t) \\ \\ \ge (1- \epsilon)e^{-(1- \epsilon )^n}..... \\ \\ \Bigint_{1- \epsilon }^1 fn(t)< \epsilon     (majore fn(t) par 1).
re : Suites de fonctions.#msg2940535 Posté le 19-03-10 à 21:07
Posté par ProfilE_McDo E_McDo

Bonsoir.

Je ne vois pas trop pour la dernière ligne...
re : Suites de fonctions.#msg2940649 Posté le 19-03-10 à 22:22
Posté par Profilrhomari rhomari

2$ \text f_n(t) \le 1 donc \Bigint_{1- \epsilon}^1f_n(t) \le \Bigint_{1- \epsilon}^11 \Longr \Bigint_{1- \epsilon}^1f_n(t) \le \epsilon
re : Suites de fonctions.#msg2940663 Posté le 19-03-10 à 22:34
Posté par ProfilE_McDo E_McDo

Je comprends mieux.
Merci beaucoup rhomari!
re : Suites de fonctions.#msg2940671 Posté le 19-03-10 à 22:39
Posté par Profilrhomari rhomari

de rien, bonne nuit
re : Suites de fonctions.#msg2940675 Posté le 19-03-10 à 22:41
Posté par ProfilE_McDo E_McDo

Bon week end à toi.

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