les Polynomes

Posté par lejedi67 lejedi67

Bonjour à tous

J'ai un problème sur un exercice sur les polynomes.
Soit f qui a Pn[X] associe f(P) = -3XP + X^2P' + P".
1)Trouver les valeurs de n pour que f L(n[X] )

2)Puis dans ce cas déterminer Ker(f) et Im(f) sous forme de Vect.

1) J'ai tout d'abord mis P sous la forme d'une somme, sa définition .
P= ak X^k  ( de k=0..n )

Pareil pour P' et P" ( enfin je les ai mis sous cette forme )

A la fin apres changement de compteur et autres manipulations, je trouve que f(P) = [ X^k+1 ak ( -3 + k ) ] ( de k=0..n) + ( k(k-1)ak X^k-2 ( de k=0 ..n)


Je sens bien que la deuxieme somme se pose pas de problème, en effet son deg est inférieur à n ( clairement )
La premiere somme quant à elle, a du X^k+1, on peut donc dépassé le deg n, ce que l'on ne veut pas pour convenir à l'application linéaire.
la seule possibilité est n=3 ( pour le -3 + k ) annulera le terme indésirable.

Je me demande si pour commencer mon raisonnement tient la route, si non, veuillez m'indiquer une voie, si oui, comment expliquer clairement l'idée qu'il faut n=3, par relation avec des équivalances ou une phrase en bon vieux français ?

2) Je prend n=3

Donc P=X³ + X² + X +
D'ou en remplacant dans f, je trouve f(P) = (6X) + (-X³ + 2 ) + ( -2X²) + (-3X)

J'aimerai savoir si mon raisonnement tient la route.
Mes calculs sont'ils bons ?
Et une aide pour continuer / finir l'exercice ne serait pas de refus.
En effet une vois que j'ai ceci, qu'est que je peux faire ?
( il faut savoir que j'ai des difficultés avec les notions de Ker et de Im ( chapitre difficile à maitriser pour moi ) )


Il me semble qu'on a la, f sous forme de Vect, mais je ne sais pas trop, j'ai une mauvaise maitrise de la nature des objets manipulés.


Merci d'avance.

Posté par rhomari rhomari

f(p)sera dedegré n+1donc n appartient pas à R_n[x]sauf si le coefficient de xⁿ⁺¹ est nulle ...

Posté par raymond raymond

Bonjour.

1°) Posons p_n(X) = Xⁿ

Alors, un calcul simple donne : f(p_n)(X) = (n-3)Xⁿ⁺¹ + n(n-1)X^n-2

le degré de f(p_n)(X) sera inférieur ou égal à n ssi n = 3

Ensuite, on vérifie que f(aP + bQ) = af(P) + bf(Q) pour voir si f est bien linéaire.

Finalement f est un endomorphisme de IR₃[X]

2°) Le calcul effectué en 1°) permet de trouver les images des vecteurs de la base canonique de IR₃[X] :

f(p₀)(X) = -3X
f(p₁)(X) = -2X²
f(p₂)(X) = 2 - X³
f(p₃)(X) = 6X

Par définition, Im(f) = Vec(-3X ; -2X² ; 2 - X³ ; 6X)

Mais -3X et 6X sont liés, donc : Im(f) = Vec(-2X² ; 2 - X³ ; 6X)

Ces trois derniers polynômes sont indépendants car de degrés différents. On en déduit que Im(f) est de dimension 3.

Toujours avec les quatre calculs antérieurs, on voit que f(p₃ + 2p₀) = O

Donc, Ker(f) = Vec(p₃ + 2p₀) = Vec(2 + X³)