Polynôme et Application linéaire

Posté par MarvinSith MarvinSith

Bonsoir, j'ai un petit problème sur mon exercice, voila le sujet :

Sujet :
m désigne un entier naturel >2 et n un entier naturel non nul <m/2
Soit A [X] défini par : A(X) = Xⁿ + a_n-1X^n-1 + .... a₁X + a₀
I est un intervalle de sur lequel A ne s'annule pas. Soit f l'application de _m[X] dans [X] définie par f(P) = AP' - PA', où A' et P' sont respectivement les polynômes dérivés de P et A.

Voici la question qui me pose problème..:
1)En utilisant la question 1.c), montrer que tout polynôme de _p[X] divisible par A² appartient a Im f. En déduire qu'un polynôme S_p appartient à Im f ssi le reste R de sa division euclidienne par A² appartient a Im f

Pour information, la question 1.c est de calculer f(QA) et j'ai trouvé que c'était égal à Q'A². Donc c'est divisible par A² et Q' mais j'ai du mal à conclure.. Est-ce que ce raisonnement marche ? : Q' = 1Q' - 0xQ f(P) Im f


Mais après à la question suivante, je bloque totalement car on me parle de reste avec la division euclidienne de S/A² mais je viens de le faire avant non?

Posté par lafol lafol

Bonsoir

si un polynôme P est divisible par A², il s'écrit P=qA²

Soit Q un polynôme tel que Q'=q, on a alors P = qA² = Q'A² = f(QA) d'après 1.c, donc P est bien dans Imf
(faudrait quand même regarder de plus près les degrés des polynômes, c'est juste pour te donner l'idée générale)

Posté par lafol lafol

Pour la suivante : S = qA² + R donc R = S - qA²
On vient de voir que qA² est dans Imf, et Imf est un ssev donc stable : Si S est dans Imf, S - qA² aussi, si R est dans Imf, R + qA² aussi ....