espace et barycentre

Posté par morphine morphine

On considère les points A(-1,0,1) B (1,-4,-1) C ( 3,-4,-3) et S ( 4,0,4)

1/ démontrer que le triangle ABC et rectangle en A                 FAIT

2/a. montrer que le vecteur SO est orthogonal aux vecteur AB et AC                FAIT

b. en déduire une équation cartésienne du plan : je trouve 4x +4z = 0

3/démontrer que 0 est le barycentre des points A,B et C affectés de coefficients que l'on déterminera . En déduire  que O est situé dans le triangle ABC.
Je bloque evidemment sur la derniere question !

Posté par cailloux cailloux

Bonsoir,



Disons dans le plan du triangle

...

Posté par Labo Labo

bonjour
plan (ABC)
4x+4z=0 équivaut à
x+z=0
a\vec{OA}+b\vec{OB}+c\vec{OC}=\vec{O}
on obtient un système et ontrouve
c=k
b=-k et a =2k
O est à l'extérieur du triangle
si k=1
a=2
soit G le barycentre des points (C;1)(A;2)
G appartient à [AC]
par associativité O est la barycentre des points (K;3) et (B;-1) O n'appartient pas à [BH] O est à l'extérieur du triangle
aperçu en image
bleu A rouge B vert clair C vert plan (ABC) jaune S et noir O

Posté par morphine morphine

Bonjour,
j'avais bien trouvé ce système mais je suis bloquée pour la résolution! Je ne vois pas bien comment intégrer les 3 coordonnées de chaque vecteur dans l'équation a OA + b OB + c OC = 0!

ps: merci beaucoup d avoir pris le temps de me faire un schéma.

Posté par Labo Labo

Posté par morphine morphine

Je m'étais trompée dans les coordonnées de B ! B( 1,4,-1)
Ce qui nous donne pour le barycentre a = 4 b = 1 et c = 1
donc O est le barycentre de (A,4) (B,1) (C,1)
Ce qui change tout pour la question d apres! O est bien situé dans le triangle ABC !
soit G barycentre de (A,4) (C,1) donc G appartient à AC
par associativité du barycentre, O est le barycentre de (G,5)(B,1)
Cela suffit-il a prouver que O appartient au triangle ABC ?

On me demande par la suite de calculer le volume du tetraedre SABC , je trouve 163
pourrais je avoir confirmation ?
Merci d avance

Posté par Labo Labo

précise que O appartient à [GB]
tu peux montrer que \vec{OG}=k\vec{BG} avec 0<k<1
volume du tétraèdre
aire de la base *hauteur*(1/3)
aire de (ABC)=(1/2)AB*AC
hauteur SO je ne trouve pas comme toi ,indique tes calculs

Posté par morphine morphine

Aire de ABC = AC*AB/2 = 43)* 26)*1:2 = 12 2
hauteur SO= 42
et donc le volume du tetraedre = 32 ?!

ps: je m'étais trompée dans le calcul de la longueur AB!

Posté par Labo Labo

OK
32cm³