dimension d'un sev de l'ev des endomorphismes de Mn(IR)

Posté par mypb mypb

Bonsoir,

Déterminer la dimension du sev du IR-ev des endomorphismes u de Mn(IR) t.q u(tA)=t(u(A)), pour toute matrice A de Mn(IR).
Rq : tB est la transposée de la matrice B.
Merci.

Posté par raymond raymond

Bonjour.

Quelques pistes.

¤ Si T est l'automorphisme involutif de M_n(IR) tel que T(A) = ^tA, on cherche donc tous les u L(M_n(IR)) tels que u o T = T o u.

Comme T = T^-1, on a aussi u = T o u o T.

¤ Si l'on désigne par S_n(IR) et A_n(IR) les sev de M_n(IR) formés des matrices symétriques et antisymétriques, un calcul simple montre que ce sont deux sev u-stables.

Comme S_n(IR) et A_n(IR) sont supplémentaires dans M_n(IR) et dim(S_n(IR)) = n(n+1)/2 et dim(A_n(IR)) = n(n-1)/2, il me semble que la dimension du commutant de T est :



A vérifier !