Inégalité de Jensen.

Posté par polka-dots polka-dots

Bonsoir,

une correction que je ne comprends pas, et qui concerne l'égalité de Jensen.

J'ai précédemment montrer que ln(1+) était convexe. La seconde question est la suivante:

En déduire que pour toute famille finie: (x1,x2,..,xn) de réels strictement positifs:

1+.

Pour cela on me dit d'appliquer l'inégalité de Jensen à la famille de réels (lnx1,lnx2,..,lnxn), avec des coefficients tous égaux à 1/n.

ln(1+

La suite je ne la comprends pas non plus, donc je la mettrais plus tard. Mais je ne vois pas comment appliquer Jensen avec ln(1+).

-> Pourquoi à la place des xn, on a ln(xn)?
-> Pourquoi les coefficients n sont égaux à 1/n?

Merci d'avance.

Posté par polka-dots polka-dots

Up.

Posté par Foxdevil Foxdevil

Bonsoir,

L'énoncé de l'inégalité de Jensen est:

Soit f convexe
Soit une famille d'éléments positifs telle que
Alors, avec x_1,...,x_n dans l'intervalle de déf de f, on a
.

Ici, la fonction est ; les valent tous (pas dur de voir que leur somme vaut 1); et les points dans l'intervalle de définition de la fonction sont les .

On se fiche royalement de savoir pourquoi les lambda sont des 1/n ou pourquoi on applique sur des , vu que les hypothèses sont vérifiées! Si les trucs te gène tu remplaces par et 1/n par , et à la fin du calcul, tu les remets pour obtenir l'inégalité souhaitée.

Pour la suite, tu transforme la somme de droite en produit en faisant tout rentrer dans le ln, et pour la gauche tu transforme la somme en produit en faisant sortir les trucs de l'exponentielle. Tu obtiendras ln(truc1) inférieur ou égal à ln(truc2), donc par croissance de ln truc1 est inférieur ou égal à truc2. Et c'est ton inégalité.