sous espace vectoriel

Posté par ludelu1981 ludelu1981

Bonjour,
J'ai un exercice composé 2 questions où j'ai du mal.
Voici l'énoncé
Soit M₂() le -espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 2. Si A est un élément de M₂(), on note A^Tla matrice transposée de A. On définit
S₂() = {A M₂() |A^T = A}
A₂() = {A M₂() | A^T = -A}
a) Montrer que S₂() et A₂() sont deux sous-espaces vectoriels de M₂().

Alors pour cette question j'ai commencé par dire que la matrice nulle appartient aux deux. Mais après j'ai du mal pour démontrer que la somme de deux vecteurs de S₂ est dans S de même que la somme de deux vecteurs de A₂ est dans A₂. Je ne sais pas si ce que je dis est correcte.

b) Montrer que S₂() et A₂() sont supplémentaires dans M₂().
Pour cette question je n'ai pas d'idée.
Merci de m'aider. Ludovic

Posté par Foxdevil Foxdevil

Bonsoir Ludovic,

Pour a), la stabilité par linéarité de S2 et A2 vient de la linéarité de la transposition.

Pour b), déjà tu peux montrer facilement que l'intersection de ces deux ensembles est l'espace nul. En effet cela signifierait que la transposée de A serait A et -A donc A=-A donc A=0.

Ensuite, il faut que tu montres que toute matrice s'écrit comme somme d'une matrice de A2 et de S2. Si tu as la matrice

alors, on a
est une décomposition qui convient. Tu peux vérifier facilement que celui de gauche est dans S2 et l'autre dans A2.

Posté par jft91 jft91

Bonsoir,
1) utilise : (A+B)^T= A^T+B^T et (A)^T = (A^T)
2)Pour l'intersection :si A=-A alors que dire de A? Tu cherches ensuite BS₂() et CA₂() tels que A = B + C (1).Tu auras donc A^T = B^T + C^T = B - C (2).Les égalités (1)et(2) forment un système qui te permettront de trouver B et C en fonction de A et A^T.Bien sûr, tu vérifieras que les matrices B et C trouvées sont dans S₂() et A₂() respectivement.

Posté par ludelu1981 ludelu1981

Bonsoir,
J'ai compris pour la b.
Cependant pour la a) j'ai un peu de mal à comprendre. J'ai regardé mon cours et je peux dire que dans S2 la matrice A est symétrique et dans A2, la matrice A est asymétrique.
Je ne comprend l'expression "la stabilité par linéarité de S2 et A2 vient de la linéarité de la transposition". Est ce que je peux avoirs des explications. Merci d'avance. LUdovic

Posté par Foxdevil Foxdevil

ça signifie que si tu as aA+bB (a et b constantes) et alors , ce qui entraine que A2 est stable par linéarité non?

Posté par ludelu1981 ludelu1981

Bonjour, tout d'abor merci pour les réponses.
Alors j'ai un peu mieux compris pour la question a. Mais j'ai encores des incompréhension. En effet le fait que (A + B)^T = A^T + B^T et que (A)^T = A^T suffit pour dire que S2 est un sev. J'aurais crus qu'il aurait fallut obtenir cette égalité suivante : (A + B)^T = A + B car dans l'énoncé il est dit que dans S2 on avait la condition suivante : A^T = A. Désolé de vous embêter avec mes incompréhension.
Ludovic

Posté par ludelu1981 ludelu1981

Pour la question b, suite au message de jf91 alors avec mon système j'ai trouvé
B = 1/2(A + A^T) et C = 1/2 A - 1/2 A^T.

Posté par ludelu1981 ludelu1981

Avec de la persévérance j'ai finis par rédigé mes réponses. Merci d'avance pour votre aide à tous les deux. Bonne fin de journée. Ludovic

Posté par Foxdevil Foxdevil

Pour la a) ça va de soi qu'on doit montrer que (A+B)t=A+B (ou avec des moins). Mais le passage fondamentale c'est la linéarité de la transposition, c'est pourquoi je dis que c'est elle qui garantis la stabilité par linéarité de S2.

Si A et B sont dans S2 alors on a (aA+bB)t=aAt+bBt, or A et B sont dans S2 donc A=At et B=Bt donc (aA+bB)t=aA+bB.

Donc toutes combinaisons linéaires d'éléments de S2 est dans S2.