etude d'une dérivée seconde

Posté par hdl88 hdl88


bonjour, j'ai cet exercice à faire, je cherche quelqu'un qui pourrai bien m'aider !

On appelle F la fonction définie sur l'intervalle I=]-2;+ l'infini[ par:
f(x) = 1 + x ln ( x+ 2 ).
on note (Cf) la courbe représentative de f dans le repère orthonormal ( O; vecteur i, vecteur j) (unité graphique 4cm).

PARTIE A - ETUDE DE LA FONCTION F
1.étude des variations de la dérivée f'
a. f' désigne la fonction dérivée de f et f'' la fonction dérivée seconde.
calculer f'(x) puis f''(x) pour x appartenant à l'intervalle ]-2; + l'infini[.
b.étudier les variations de f' sur l'intervalle ]-2; + l'infini[
c. déterminer les limites de f' en -2 et en + l'infini

2. étude du signe de f' (x)
a. montrer que sur l'intervalle ]-2;+l'infini[ l'équation f'(x) = 0 admet une solution unique alpha appartenant a l'intervalle [-0.6;-05].
b. en déduire le signe de f'(x) selon les valeurs de x.

3. étude des variations de f
a. étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle ]-2;+l'infini[.
b. déterminer les limites de f en-2 et en + l'infini
c. dresser le tableau de variation de f.$

parti B- Position de la courbe (Cf) par rapport a ses tangentes.

soit x0 un réel appartenant à l'intervalle ]-2;+l'infini[, on appelle Tx0 la tangente à (Cf) au point d'abscisse x0.
on note, pour x appartenant à l'intervalle ]-2;+l'infini[:
d(x) = f(x) -[f' (x0) (x-x0) + f(x0)].

1. étude des variations de d
a. vérifier que, pour tout x appartenant à l'intervalle ]-2;+ l'infini[:
d'(x)= f'(x)-f'(x0).
b. en utilisant la croissance de la fonction f', donner le signe de d'(x) selon les valeurs de x. En déduire les variations de d sur l'intervalle ]-2;+ l'infini[.
2. déterminer la position relative de (Cf) et de Tx0.

parti C - tracé dans le repère (o; vecteur i, vecteur j)

1. déterminer une équation de la droite T0, tangente à (Cf) au point d'abscisse 0, tracer T0.
2. Trouver les réels x0 pour lesquels les tangente Tx0 passent par l'origine du repère puis tracer ces droites.
3. Tracer la courbe (Cf) pour les valeurs de x comprises entre -1 et 2.
on prendra pour alpha la valeur -0.54 et pour f(alpha) la valeur 0.8

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Bon, tu as démarré? Tu as calculé les dérivées?

Posté par hdl88 hdl88

voila pour la question 1a) je trouve f'(x)=ln(x+2)+((x/x+2)) peut 'on simplifier d'avantage ? et je trouve f''(x)=x+4/(x+2)^2

b) pour étudier les variations de f' on étudie le signe de f'' qui est toujours positif sur -2:+infini donc f' est tjs croissante

c)lim de f' sur (-2;+infini) je trouve -infini et sur + infini je trouve + infini

2)a) c'est bon
2)b) aussi

3a) etudier les variations de f je ne sais pas comment m'y prendre pour f'(x) quand est-ce positif ou négatif ?
3b)lim f(x) en -2+ c'est 0?
lim de f(x) en + infini c'est +infini?

3c) je comprends pas en quoi cette question est différente de la a)


partie b

1a) je n'y arrive pas j'ai essayer de dériver d(x) mais je ne trouve pas comme dans l'énoncé
b) je ne trouve pas
2)comment faire pour étudier le signe de d(x)-T(x0)?

partie c

a) je trouve comme tangente: xln(2)+1
b) je n'y arrive pas

Posté par Camélia Camélia

Je suis d'accord pour f' (on ne peut pas simplifier plus).

Mais

C'est vrai que c'est positif sur

Ensuite ça va... pour 2.

3) Tu sais que f' est croissant de vers donc f' s'annule une et une seule fois. Comme f'(-1) < 0 et f'(0) > 0, l'unique solution de f'(x)=0 se trouve entre -1 et 0. On l'appelle et on sait que f' est négative avant et positive après.

et

En effet il n'y a pas grande différence entre a) et c), on met tout ensemble...

On réfléchira après à la partie B!

Posté par hdl88 hdl88

merci pour ton aide!

Posté par hdl88 hdl88

quand pourras tu m'aider pour la suite ?

Posté par Camélia Camélia

Bon...



(tout le reste ne dépend pas de x)

Comme et comme f' est croissante, d' est positive sur et négative sur

Avec ça tu devrais t'en sortir!

Posté par hdl88 hdl88

pourquoi d'(x)=0 ?

Posté par hdl88 hdl88

ah no j'ai rien dit !

Posté par hdl88 hdl88

merci pour tout ...
et pour la partie c 2) je ne vois vraiment pas comment m'y prendre

Posté par Camélia Camélia

L'équation de la tangente au point d'abscisse est



(en explicitant bien sur). Regarde pour quels le point O=(0;0) est sur cette droite.

Posté par hdl88 hdl88

je vois pas trop...

Posté par Camélia Camélia

Quand a-t-on ?

Posté par TheRogerFederer TheRogerFederer

remplace f'(x0) par ce qui correspond, pareil pour f(x0)

Posté par TheRogerFederer TheRogerFederer

et camélia il y a une erreur c pas f'(x0)(0-x0)+f(x0)=0 mais f'(x0)(x-x0)+f(x0)=0

Posté par TheRogerFederer TheRogerFederer

apres tu développe sa fait (x)f'(x0) - (x0)f'(x0) + f(x0) = 0 et tu replace par les fonctions f(x0) et f'(x0) correspondantes

Posté par -Romane- -Romane-

Bonjour Camélia, j'ai le même exercice et j'en suis à la question de la partie B), 1)b), peux tu rééxpliquer comment la résoudre?
merci

Posté par Camélia Camélia

Bonjour Romane

Je vais essayer d'embrayer... Donc . Ca a été démontré quelque part que f' est strictement croissante. Donc entraine et alors d'(x) < 0. De même pour , on a donc .

Posté par -Romane- -Romane-

Je regarde ça et je te réponds, ensuite je passe à la suite, si tu veux bien me suivre
merci !

Posté par -Romane- -Romane-

Ok j'ai compris, c'est clair et précis !
partie B)2)
déterminer la position relative de (Cf) et de Tx0.

Il faut étudier une différence mais laquelle? Peux tu me donner un coup de pouce?

Posté par -Romane- -Romane-

Mince on a oublié la fin de la question "En déduire les variations de d sur l'intervalle ]-2;+ l'infini[.", comment le savoir? Quel est le rapport entre une fonction et sa dérivée qui nous permettrait de le savoir?

Posté par MisterJack MisterJack


Bon je me permets d'intervenir dans la discussion....personne ne m'en voudra j'espère .
Romane tu as donc trouvé le signe de d'(x), ce qui va te permettre de dresser le tableau de variations de d(x)sur ]-2;+[ et en déduire que d(x)0.

Cette différence c'est justement d(x), différence entre un point de la courbe d'abscisse x et un point de la tangente d'abscisse x ( fais une figure ). Si cette différence est positive la courbe est au dessus de la tangente sinon elle est au dessous.

Posté par -Romane- -Romane-

Merci MisterJack ! (en période de vacances c'est plus compliqué ici, normal !)
Donc
Partie B)1)d)
d est décroissante sur ]-2;x0[ et croissante sur ]x0;+infini[
doit on prendre la valeur de x0 dans l'intervalle?
Faut il déterminer les limites dans on tableau de variation?

2)
Comment sais tu cela? Là est mon énorme problème ! Grâce à la question précédente?

Posté par MisterJack MisterJack

Okay....mais n'oublie pas ce qui implique forcément .

est définie comme c'est donc la différence entre :
: ordonnée d'un point M de la courbe d'abscisse x
et
: ordonné d'un point N de la tangente d'abscisse x.
Si cette différence est positive alors c'est que M est au dessus de N....non ?
Un petit dessin

Posté par -Romane- -Romane-

J'ai enfin compris la question 2) !! Mon dessin était moins bien donc..

Par contre je ne vois pas comment savoir si il faut prendre la valeur de x0 : quand on dit que d est décroissante, c'est sur ]-2;x0[ ou ]-2;x0]?

Ta première remarque me fait comprendre que je dois rajouter le 0 comme ceci sur mon tableau?


(on avance c'est une évidence !)

Posté par MisterJack MisterJack


cela n'a pas grande importance.
Quand à ton tableau de variation il est impec maintenant...on voit bien pk d(x)0.

Posté par -Romane- -Romane-

Ok ! Je passe à la partie C

1) déterminer une équation de la droite T0, tangente à (Cf) au point d'abscisse 0, tracer T0.

La formule d'une tangente est de la forme y= f'(a)(x-a)+ f(a) au point (a;f(a))
ici a=0
donc on a T₀: y₀= f'(0)(x)+f(0)
Or ce n'est pas une équation !
Je vois plus haut qu'il faut donner comme réponse f'(0)(x)+f(0) =0 mais je ne comprends pas pourquoi, peux tu me dire?

Posté par Camélia Camélia

1) L'équation de la tangente au point d'abscisse 0 est y=f'(0)x+f(0).
2) Là c'est général, l'équation est Tu cherches pour quels le point (0,0) est sur cette droite. Tu dois donc résoudre l'équation .

Posté par -Romane- -Romane-

Car le point d'abscisse est 0 et ça ne peut pas être égal à une ordonnée (y0) !

Posté par Camélia Camélia

Je ne vois pas ce que tu veux dire... le point de la courbe dont l'abscisse est a bien une ordonnée

Posté par -Romane- -Romane-

Merci de rester sur ce sujet Camélia

Donc en fait pour la question 1) on doit juste dire que c'est y==f'(0)x+f(0) ou faire des calculs? Qu'est ce qui est attendu d'après toi?
2)On doit résoudre graphiquement?

Posté par Camélia Camélia

Pour la question 1) il faut remplacer f(0) et f'(0) par leurs valeurs (ici, f est donnée). Pour 2) on résout vraiment l'équation.

Posté par -Romane- -Romane-

1)
f(x) = 1 + x ln ( x+ 2 ) donc f(0)=1
f'(x)= ln(x+2) + (x/x+2) donc f'(0)= ln(2)
donc on a y= ln(2)x+1

2)Comment la résoudre puisqu'on a pas la valeur de x₀?


merci

Posté par -Romane- -Romane-

2)On doit résoudre 0= -x₀f'(x₀) + f(x₀) mais comment?

Posté par Camélia Camélia



On veut résoudre l'équation


Ca c'est une équation du second degré!

Posté par -Romane- -Romane-

Voici ce que je trouve, mais ça ne va pas car dans l'expression de x0 il y a x0 ! Pourtant je ne vois pas où est mon erreur !
0=1-(x0²/(x0+2))
1=x0²/(x0+2)
x0²=x0+2
x0=-(x0+2)
ou
x0=(x0+2)

Posté par -Romane- -Romane-

L'autre méthode donne :
x0²-x0-2=0
=9
x01=(x0-3)/2
ou
x02=(x0+3)/2

Qu'en penses tu?

Posté par -Romane- -Romane-

Ha non erreur !
Les solutions sont x01=2 et x02=-1, j'ai répondu à la question !