Exercice de trigonométrie.

Posté par thomas2-2 thomas2-2

Bonjour à tous, un sujet d'exercice me pose problème, j'ai tenter de réaliser certaines choses, mais je ne sais pas comme aboutir.
Voici l'énnoncé :

En écrivant sin(5x) = sin(3x+2x) puis sin(3x-2x) exprimer sin(3x) cos(2x) en fonction de sin(5x) et sin(x). En déduire les solutions de l'équation : sin(5x) + sin(x) = cos(2x)

Pour le moment j'ai seulement calculer sin(3x+2x) = sin(3x)cos(2x)+sin(2x)cos(3x) et sin(3x-2x)=sin(3x)cos(2x)-sin(2x)cos(3x)

Posté par Priam Priam

Il te suffit d'additionner membre à membre ces deux égalités.

Posté par thomas2-2 thomas2-2

Additioner sin(3x+2x) = sin(3x)cos(2x)+sin(2x)cos(3x) et sin(3x-2x)=sin(3x)cos(2x)-sin(2x)cos(3x) ?

Posté par Priam Priam

Oui.

Posté par thomas2-2 thomas2-2

En faisant cela, j'obtient, sin(5x) + sin(x) = 2( sin(3x)cos(2x) )
Or cela me pousse à résoudre l'équation :

sin(5x) + sin(x) = 2( sin(3x)cos(2x) ) = 2cos(x) ...

C'est cela ?

Posté par thomas2-2 thomas2-2

Rectification : sin(5x) + sin(x) = 2( sin(3x)cos(2x) ) = cos(2x) ...

Posté par Priam Priam

C'est ça, et l'équation à résoudre correspond à la dernière égalité.

Posté par thomas2-2 thomas2-2

Sauf que je ne sait pas comment la résoudre ... Cos(2x) = cos²x + sin²x, or là ca ne m'arrange pas .. Puis 2sinxcosx pourrait m'arranger sauf que la je suis dans la forme 2sinacosb ...

Posté par Priam Priam

Non, transfère le cos2x du 2ème membre dans le 1er membre et mets-le en facteur.

Posté par thomas2-2 thomas2-2

J'ai alors cos(2x)(2sin(3x)-1) = 0 ...

Posté par thomas2-2 thomas2-2

cos(2x) = 0 ou (2sin(3x)-1) = 0 ?

Posté par Priam Priam

Oui. Continue !

Posté par thomas2-2 thomas2-2

Si le cos(2x) = 0 ... x=2kpi
Mais après je sait pas faire l'autre ..

Posté par thomas2-2 thomas2-2

Je reviens dans une heure Trente, merci de ton aide pour le moment Priam ! J'espere que tu seras là a mon retour !

Posté par Priam Priam

Es-tu sûr de ce que tu écris dans ton avant-dernier message ?
Vérifie sur le cercle trigonométrique, qui te servira aussi pour l'autre facteur.

Posté par thomas2-2 thomas2-2

Exact ! Si cos(2x) = 2PI, alors 2x = pi/2, et donc x = pi/4 !
Mais je fait comment pour l'autre ?

Posté par Priam Priam

Cherche sur le cercle trigonométrique les angles dont le sinus est égal à 1/2.

Posté par thomas2-2 thomas2-2

Oui exacte, avec produit en crois j'obtient sin(3x) = 1/2,
donc 3x = pi/6 ou 5pi/6
donc x = pi/12 ou 4pi/12

Pour conclure, les trois solutions sont :

Pi/4 - Pi/ 12 - 4Pi/12 ?

Posté par thomas2-2 thomas2-2

Euu non tous les denominteurs sur 18 !

Posté par Priam Priam

Pour cos2x = 0, il y a une autre solution.
Et n'oublie pas le 2kpi !

Posté par thomas2-2 thomas2-2

Han c'est pas vrai j'y arriverai jamais ..
cos(2x) = 0
S1 = Pi/4 et -Pi/4 ?
Et justement pour le 2kpi on a pas trop vu en cours .. Je m'en sert pour quoi et comment ?

Posté par 321iom 321iom

Le 2kPi ou le [2Pi] ( ce qui est la même chose) ça se lit "modulo 2pi".
En quelques sortes ça veut dire que a partir de ton angle[2pi] tu rajoute 2pi autant de fois que tu veux (tu peux même l'enlever autant de fois que tu veux) la solution restera valable, par cos et sin son 2Pi-périodique : tout les 2pi la fonction se répète en gros.

Posté par 321iom 321iom



Je voulais dire "car cos et sin sont..." pardon^^

Posté par thomas2-2 thomas2-2

Bon je refais :

Cos(x) = 0
=> cos(x) = cos(/2) ou cos(x) = cos(-/2)

x = /2 + 2k ou x = -/2 + 2k

Voici les deux première solutions. (Pour le k, dois-je le remplacer par une valeur ?)

Ensuite :

sin(3x) = 1/2 <=>
sin(3x) = sin (/6) ou sin(3x) = -sin(/6)
et j'arrive a : x = /18 + 2/3 k ou x= 5/18 + 2/3 k
Voici les deux autres solutions, encore une fois dois-je laisser le k ?

Voila je pense que c'est bon là !

Posté par thomas2-2 thomas2-2

Je suis désolé, mais j'ai vraiment pas appris tout ca, je ne l'ai meme pas ecrit dans le cours ... Modulo 2pi etc ...

Posté par 321iom 321iom

Voila là c'est bon, c'est maitrisé je pense, non le k c'est un k de Z, n'importe lequel, ça marchera quand même

Pas de problème, mais n'oublie pas que c'est très important ce modulo, c'est ce qui te permet de dire que sin(10Pi/3)=sin(4Pi/3)=sin(-2Pi/3)

Posté par thomas2-2 thomas2-2

J'ai vu les angles principales, c'est ca en fait , on se sert du 2 !
Une dernière question ... Si le prof me di de resoudre l'equation dans ]-;[, la je doit remplacer k par 1; 0; -1 ?
Mais s'il ne me precise pas l'ensemble, je ne le remplace pas k, et je le laisse dans la solution ? J'ai du mal justement a comprendre a quoi il sert ..

Posté par 321iom 321iom

Si tu dois résoudre entre -pi et pi, il faut que ta valeur soit compris dans cet ensemble.
Admettons qu'après résolution tu trouve je ne sais pas, 19pi/3
C'est un résultat, c'est bien, mais c'est pas dans l'ensemble voulu, mais tu sais que ton angle reste le même quelque soit le nombre de fois ou tu ajoutes/enlève 2pi (puisque tout les 2pi tu fais un tour complet), donc tu vas retrancher 2pi a 19Pi/3, donc 13Pi/3, puis encore... et tu arrives a Pi/3 qui est bien compris entre -Pi et Pi.
Si tu enlèves ou tu rajoutes 2pi, tu sors de ton ensemble donc tu n'as qu'une seule solution.

Maintenant rien ne t'empêche de prendre un ensemble bcp plus grand et donc d'avoir plus de valeur, mais si on te demande dans le cas général, tu donne ta réponse "angle+2kpi" (ou parfois 2kpi/n, comme tu as pu le voir dans l'exo avec sin, le n vient du fait qu'on prendra ton angle "x" n fois, donc pour retrouver ta périodicité tu divises 2kpi par n).

Posté par thomas2-2 thomas2-2

Merci beaucoup ! Ton aide m'a été très précieuse ... J'ai réussi à comprendre !
Si tu as encore 5 minutes, une équation me pose problème, puisque je sait qu'il faut que je soit dans le cas du cosx=cosa ou sinx=sina ..
Or là j'ai :
sin(2x-pi/3)= cos(x) .. Je sait pas comment reduire cette equation ..

Posté par Priam Priam

Transforme cos x en un sinus.

Posté par thomas2-2 thomas2-2

oui je sait bien .. mais de quelle manière ? J'ai un exemple ou :

cos (2x-pi/4) = sin x ... Le sin x est transformé en cos(pi/2-x) ..

Quelle procédé utiliser pour le faire ?

Posté par 321iom 321iom

Voila tout a fais, or cos(x)=sin(pi/2-x) (on le remarque en faisant un dessin)
donc a partir de là tu as tout les éléments pour répondre^^

Posté par thomas2-2 thomas2-2

je résout alors :
sin(2x-pi/3) = sin(pi/2-x) ?

Posté par 321iom 321iom

Tout a fais^^

Posté par thomas2-2 thomas2-2

J'ai un truc vraiment trop compliqué ...
J'arrive à :

2x-pi/3 = pi/2-x + 2kpi   OU  2x-pi/3 = pi- pi/2-x + 2kpi...

Le truc irrésolvable !

Posté par 321iom 321iom

tout a fait même * pardon

Posté par thomas2-2 thomas2-2

ah ! mais le x du pi/2-x il est pas au denominateur !!!

Posté par 321iom 321iom

sin(2x-pi/3) = sin(pi/2-x)
=> 2x-pi/3=pi/2-x
tu mets les x et les pi d'un coté et de l'autre et tu trouves :
x=5Pi/18[2Pi]

Posté par thomas2-2 thomas2-2

Mes deux solutions sont :

5pi/18 +2/3kpi et 5pi/6 + 2kpi

Posté par 321iom 321iom

Comment ça deux solutions ? Et non il n'y a pas de 2kpi, c'est juste 2kpi ici^^

Posté par thomas2-2 thomas2-2

Bin quoi il fallait bien trouver 2 solutions ? Olala, je n'arrive plus a rien .. Je reviendrais demain ...

Posté par 321iom 321iom

Hmm non il n'y a qu'une seule solution puisque tu as sin(x)=sin(y)
donc x=y et donc tu résout l'équation.
Ne t'embête pas trop a savoir pourquoi c'est 2kpi ici et non 2kpi/3 si c'est vraiment compliqué, de toute façon c'est une fonction sinus, donc si tu sais pas si c'est 2kpi/n ou 2kpi/3, laisse un 2kpi, ça reste juste aussi (même si ça enlève des solutions, c'est tjr mieux que d'en avoir des fausses )

Posté par Priam Priam

sin x = sin y.
1° x = y + 2kpi.
2° x = pi - y + 2kpi = - y + (2k + 1)pi.

Posté par thomas2-2 thomas2-2

Et bien ... Cela fait bien deux solutions non ?

Posté par Priam Priam

Oui, deux solutions.

Posté par thomas2-2 thomas2-2


C'est bien ce que t'a dis ! ?