produit scalaire, tangente, coordonnées de vecteurs

Posté par Andyy Andyy

Bonsoir à tous !
Un petit exercice sur les produits scalaires ...
Merci de me corriger, tant sur le plan des résultats que de la rédaction (et oui, notre prof aime la rédaction ... )
Énoncé =
Soient X(1 ;1), Y(-2 ;7) et Z(7 ;4). J circonscrit à XYZ. R(-2 ;4). T la tangente à J en R.
1/Définir XYZ, triangle…
2/ Trouver une équation de J.
3/ R est-il sur J ?
4/ Trouver une équation de T.

1/Dans le repère orthonormal (O ;, ), on a :
(xY-xX ;yY-yX ); (-2-1 ; 7-1) ; (-3 ; 6).
(xZ - xX ; yZ -yX); (7-1 ; 4-1) ; (6;3)
Calculons le produit scalaire . :
. = -3*6+6*3 = -18 + 18 = 0.
Donc . = 0. Cela signifie que les vecteurs et sont orthogonaux.
Ainsi, (XY,XZ) = /2 radians, c'est-à-dire que   = /2 radians.
Donc le triangle XYZ est rectangle en X.
2/ J est le cercle circonscrit au triangle XYZ. Ainsi, [YZ] est un diamètre de J. Soit I(xI ;yI) le milieu de [YZ], et centre de J ; les coordonnées de I sont donc :
xI = (xY + xZ)/2 = (-2+7)/2 = 5/2.
yI = (yY + yZ)/2 = (7+4)/2 = 11/2.
Donc les coordonnées de I sont : (5/2 ; 11/2)
Calculons la longueur YZ :
YZ²=(xZ - xY)² + (yZ - yY)² = (7-(-2))² + (4-7)² = (9)² +(-3)² = 81 + 9 = 90.
Donc YZ =(90) = 3(10).
[YZ] étant un diamètre, YZ/2 est un rayon, c'est-à-dire que r = YZ/2 = (3(10))/2.
Soit R(x ;y) un point du plan. Une équation de J, si R J est :
(x-xI)² + (y-yI)² = r² (x-5/2)² + (y- 11/2)² = [(3(10))/2]²
Une équation du cercle J de rayon 3(10) et de centre I(5/2;11/2) est :
(x-5/2)² + (y- 11/2)² = [(3(10))/2]².

3/Si R(-2 ;4) appartient à J, alors ses coordonnées vérifient l'équation :
(x-5/2)² + (y- 11/2)² = [(3(10))/2]².
Calculons (x-5/2)² + (y- 11/2)², avec x = -2 et y = 4 :
(-2-5/2)² + (4-11/2)² = (-9/2)² + (-3/2)² = 81/4 + 9/4 = 90/4 = 45/2.
Or, [(3(10))/2]² = (9*10)/4 = 90/4 = 45/2.
Ainsi, R(-2 ;4) appartient à J.

Pour la dernière question j'ai peut-être une idée ...
Si je prend comme vecteur, alors est un vecteur normal à la tangente à J au point R non ?
et puis ensuite j'en déduis une première équation avec a et b, puis c en utilisant les coordonnées de R ...
Mais comment prouver que est normal à T ?

Merci de vos corrections !

Posté par Andyy Andyy

Une petite précision pour la question 1 :
1/ ... Calculons les longueurs XY et XZ :
XY² = (xY - xX)² + (yY + yX)² = (-2-1)² + (7-1)² = (-3)² + (6)² = 9 + 36 = 45.
Donc XY = 3(5).
XZ = (xZ - xX)² + (yZ + yX)² = (7-1)² + (4-1)² = (6)² + (3)² = 36 + 9 = 45.
Donc XZ = 3(5).
Donc XY = XZ.
Ainsi, XYZ est un triangle rectangle isocèle en C.

Posté par Marc35 Marc35

Bonsoir,

Il faut prendre un point courant M(x;y) sur la tangente et faire le produit scalaire   .

Posté par Marc35 Marc35

C'est pour trouver l'équation de la tangente...
"IR normal à T"==>le rayon (ou le diamètre) est perpendiculaire à la tangente.

Posté par lafol lafol

Bonsoir

M appartient à J <==> <==> (-2-x)(7-x) + (7-y)(4-y) = 0

Posté par lafol lafol

gloups, échange entre des x et des y, je corrige

Posté par lafol lafol

en fait non, c'est bien ça, et après développement ça donne x²+y²-5x-11y+14 = 0

Posté par lafol lafol

(le 3 racine de 10 sur 2 au carré, tu as le droit d'en faire 3².10/2² = 90/4 = 45/2, quand même)

Posté par Andyy Andyy

Bonsoir !
Je réponds par étape ...
lafol :
Soit M(x;y) un point de J.
Alors,puisque [YZ] est un diamètre de J, alors XYZ est un triangle inscrit dans le cercle J, et.
(-2-x;y-7) et (x-7;y-4).
\vec{MY}.\vec{MZ}= 0[/tex] (-2-x)(x-7)+(y-7)(y-4) = 0 -2x + 14 - x² + 7x + y² -4y -7y + 14 = 0 -x² + 5x + 14 + y² -11y + 14 = 0 x² + 5x + y² -11y + 28 = 0
Ce résultat n'est-il pas "bizarre" ?

Marc35 :
R est sur le cercle J. Soit T la tangente à J passant par R, et D(x',y') un point de D.
Calculons le produit scalaire :

Mais ... après avoir fait le calcul du produit scalaire, j'obtiens :
(9/2)x + (19/2)y' + 48.
Cela ne prouve pas que le produit scalaire est nul, car il est 0 ...
Ne dois je pas utiliser plutôt la définition de la tangente qui dit que : (Merci, lafol ! )
?
Dans ce cas là =

XYR est un triangle rectangle isocèle inscrit dans le cercle J, de centre I(5/2 ; 11/2). Soit T la tangente à J au point R. T a une équation de la forme : ax + by + c = 0. On sait que est un vecteur normal à T.
(xR - xI ; yR - yI) ; (-2-5/2 ; 4- 11/2 ) ; (9/2 ; -3/2).
Une équation de T au point R est donc : 9/2 x - 3/2 y + c = 0.
R(-2;4) appartient à J, on a alors, dans ce cas :
9/2*(-2) -3/2*4+ c = 0 -9 -6 + c = 0 c = 6 + 9 = 15.
Ainsi, une équation de T au point R est : 9/2 x - 3 /2 y + 15 = 0.

Merci de me corriger !

Posté par Andyy Andyy

J'ai repéré certaines erreurs... =
1/ [YZ] étant un diamètre, YZ/2 est LA MESURE DU rayon, c'est-à-dire que r = YZ/2
2/ Une équation du cercle J de rayon 3(10)/2 ...

Posté par Marc35 Marc35

1) XYZ rectangle isocèle  en X ==> OK
2) L'équation du cercle   ==> OK
Donc cercle de centre (  et de rayon  
3) R appartient à J ==> OK
4) On peut effectivement considérer que l'équation de la tangente est de la forme  ax + by + c = 0.
étant un vecteur normal à la tangente  (rayon perpendiculaire à la tangente), on a  .
Comme la tangente passe par R(-2;4) :

D'où l'équation de la tangente :  
Que l'on peut écrire :
  ou encore  
La méthode que j'ai indiquée, fonctionne aussi... si on ne fait pas d'erreur de calcul...

Posté par Andyy Andyy

Bonsoir, Marc35,
Oki pour la correction... merci bcp !
Je préfère cette méthode là (c'est celle que nous avons vu en cours...), je la trouve moins compliqué.
Ne peut ont pas simplifier par 3 la dernière équation ?
Merci de ta correction !

Posté par Marc35 Marc35


Oui, bien sûr...

Posté par Andyy Andyy

D'accord, merci bien !
Bonne soirée et bonne fin de week end !