Exercice Produit scalaire dans l'espace

Posté par Samsara Samsara

Bonjour,

Je suis totalement bloquée sur cet énoncé.

Soit ABC un triangle. On note :
BC = a
AC = b
AB = c
A' milieu de [BC]
G isobarycentre de ABC.
On rappelle que si G est l'isobarycentre du triangle ABC, on a
GA² + GB² + GC² = (a² + b² + c²) / 3

1) Montrer que pour tout point M de l'espace :
2 MA.MA' + MB.MC = 3 MG² - (a² + b² + c²) / 6

* en souligné, ce sont des vecteurs

2) En déduire que les points d'intersection des cercles de diamètres [AA'] et [BC], s'ils existent, appartiennent aussi à un cercle de centre G dont on précisera le rayon.


Pour la question 1) j'ai essayé en partant du membre de gauche en appliquant la définition du produit scalaire mais si je veux injecter G ça me donne par exemple : norme de MG + GA + MG + GA' et je sais pas comment passer à des longueurs après ça.
J'ai aussi essayé avec la formule du barycentre qu'ils nous donnent mais je sais pas comment retomber sur des vecteurs.
Voilà, donc en gros, j'ai écrit plein de ligne mais ça ne donne rien.

Pour la question 2) le 2 MA.MA' et le MB.MC représentent les cercles demandés, le 3 MG² - (a² + b² + c²) / 6 doit être un genre d'équation de cercle (??). Mais par contre, je vois pas comment situer les points d'intersection des cercles.


Voilà, donc si quelqu'un a des pistes pour m'aider à avancer, ce serait très sympa !

Posté par pgeod pgeod


1/

9 MG²
= (3MG)²
= (MA + MB + MC)²
= MA² + MB² + MC² + 2MA.MB + 2MB.MC + 2MA.MC
= MA² + MB² + MC² + 2MA.(MB+MC) + 2MB.MC
= MA² + MB² + MC² + 4MA.MA' + 2MB.MC
= (MG + GA)² + (MG + GB)² + (MG + GC)² + 4MA.MA' + 2MB.MC
= 3 MG² + GA² + GB² + GC² + 2 MG.(GA + GB + GC) + 4MA.MA' + 2MB.MC
= ??

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