Limites des fonctions

Posté par sylvie0000 sylvie0000

Bonjour !

Je dois faire un devoir de mathématiques et je vous avoue que je suis complètement perdue ! Je n'arrive pas du tout à démarrer, le principe de l'exercice étant de savoir prendre des initiatives, ce qui n'est pas mon fort
ça fait environ une semaine que je dois le rendre et j'en suis toujours au même point..
Si quelqu'un pouvait m'aider, il me sauverai vraiment !

Voici l'énoncé:

       Trouver l'expression d'une fonction f décroissante sur chacun des intervalles où elle est définie et dont la courbe représentative admet deux asymptotes d'équations x=-2 et y=3.

J'ai essayé de schématiser le tout pour avoir un apercu de la manière dont je dois mener mes recherches mais rien à faire, ça n'avance pas

Quelqu'un a une idée ? Merci d'avance !

Posté par 321iom 321iom

Déjà première chose, tu as fais un graphique donc, tu sais qu'elle doit avoir une asymptote en x=-2, bon bah une petite astuce très simple pour ta fonction tu la définie comme étant
k/(x+2).
En effet, par analogie a la fonction inverse que tu connais, qui a une asymptote en x=0, tu en auras une en x=-2
Maintenant pour qu'elle ai une asymptote d'équation y=3, tu connais un théorème qui donne la limite d'une fonction rationnelle en plus ou moins l'infini ?

Posté par pgeod pgeod

fonction homographique :

f(x)= 3x /(x + 2)
celle-ci satisfait aux conditions d'asymptotes, mais elle est croissante.

cherche-en une similaire, mais décroissante.

...

Posté par sylvie0000 sylvie0000

Pour 321iom:
J'ai trouver un théromème dans mon cours mais je ne sais pas s'il pourrait faire avaner les recherches :
             " Au voisinage de + et de -, une fontion rationnelle a même limite que le quotient des termes de plus fort degré "
Je me suis arrêter à ça en fait: k/(x+2) et après plus rien

Pour pgeod:
Merci beaucoup, je vais chercher...

Posté par 321iom 321iom

Si c'est exactement celui là dont je parlais
Donc tu as f(x)=k/(x+2), on sait pas ce qu'est k mais on l'a c'est déjà ça.
A partir de ça, il faut donc que le quotient des termes de plus haut degré de f(x) soit égal a 3 pour coller avec ta définition, donc comment tu dois choisir k pour que ça marche ?
(k n'est pas forcement un réel, c'est peut être un polynome ou je ne sais quoi )

Posté par sylvie0000 sylvie0000

Je penses qu'il y a plusieurs possibilitées pour k.
Si j'ai bien compris, on pourrait avoir par exemple x²/x qui devrait être égal à 3 ?

Posté par 321iom 321iom

Il y a précisément une infinité de solution pour k^^mais x^2/x ne risque pas d'être égal a trois^^.
Regardes, tu veux que le quotient des termes de plus haut degré soit égal a 3,
donc nécessairement si tu veux simplifier les x (pour avoir 3 et non pas 3x ou 3x^n) tu es obligé d'avoir un polynome en haut dont le degré et le même que celui d'en bas dans ta fonction rationnel.
En encore plus simplifié, ce théorème de dis que si ta fonction c'est qq chose comme (ax^n+bx^(n-1)+...)/(cx^p+dx^(p-1)...)
Alors en l'infini la limite sera de ax^n/cx^p
Un exemple, si f(x)=(x-19)/(x+1)
La limite est donc de x/x=1, tout simplement.
En bas, ton polynome c'est x+2, qui est de degré un, quel est donc le degré de celui d'en haut ? Comment faire pour que le quotient soit de 3

Posté par sylvie0000 sylvie0000

Si j'ai bien compris (ce qui serait étonnant !) le degré de celui d'en haut devrait être 1 ?

Posté par 321iom 321iom

Tout a fait, ça doit être le même que celui d'en haut pour simplifier par x
Maintenant reste a faire en sorte que le quotient soit 3, autrement dit que
ax/x= avec a une constante, que nous proposes tu ?^^

Posté par sylvie0000 sylvie0000

Et si a=3 ça marche ? on aurait 3x/x donc ça serait égal à 3 .... ??  

Posté par 321iom 321iom

Et oui tout simplement, comme quoi certains théorèmes peuvent nous simplifier la vie.
Bon on sait que le polynome k c'est qq chose de degré 1, mettons ax (NB: j'aurais pu prendre ax+39 ou n'importe quel autre polynome de degré 1), et qu'on a a=3 donc
k=3x

D'où f(x)=3x/(x+2) (ce que disais pgeod).
On a bien les deux asymptotes, mais ce polynome est il bien décroissant ? Si non, comment faire pour qu'il le devienne ?

Posté par sylvie0000 sylvie0000

Je cherches, je cherches ...

Posté par sylvie0000 sylvie0000

Je me perds dans mes réféxions, la nuit me portera surement conseil ^^
Merci beaucoup en tout cas, tu m'as beaucoup aidé

Posté par 321iom 321iom

Pas de problème
Je ne sais pas exactement ou tu en es en math, mais si tu sais ce qu'est une dérivée, alors n'oublie pas qu'une fonction décroit quand sa dérivée est négative, et qu'elle croit quand la dérivée est positive.
Donc il te suffit de calculer la dérivée de f pour voir si elle est négative, si elle ne l'est pas rajouté un signe moins, ou un -1 en haut ou je ne sais quoi^^
Bonne nuit et bon courage

Posté par sylvie0000 sylvie0000

Bonjour !

Oui j'ai étudié les dérivées en maths. Je l'ai donc calculée pour 3x/(x+2) mais elle est croissante, et je ne sais pas comment faire pour qu'elle soit décroissante car ça modifierai tout !

Posté par pgeod pgeod


essaye de dériver : (3x + k) / (x + 2) avec k
et de chercher une valeur de k qui donne une dérivée négative.

...

Posté par sylvie0000 sylvie0000

Merci je vais essayer !

Posté par sylvie0000 sylvie0000

Mais je penses que quelque soit x   , ça ne changera rien car si l'on a par exemple k=-1, on aurait (3x-1)/(x+2). Dans ce cas là, la dérivée de f(x) sera la même puisque f'(x) = 3+0 = 3. Et ça pour n'importe quel valeur de k non ??  

Posté par sylvie0000 sylvie0000

Excusez moi je me suis trompée je voulais dire quelque sois k        ^^

Posté par sylvie0000 sylvie0000

Quelqu'un a une idée ?  

Posté par pgeod pgeod

la dérivée de (3x + k) / (x + 2)

est : [3 (x + 2) - (3x + k)] / (x + 2)²

on souhaiterait que [3 (x + 2) - (3x + k)] soit < 0

Quelle valeur faut-il donner à k ?

...

Posté par sylvie0000 sylvie0000

Après des recherches, j'ai trouver que k devrait être supérieur à 7. Mais après je ne sais pas comment trouver la valeur exacte ...

Posté par sylvie0000 sylvie0000

Supérieur à 6 pardon ..

Posté par pgeod pgeod

oui. k > 6

donc toutes les valeurs de k > 6 conviennent

il te suffit d'en choisir une pour répondre au problème.

...

Posté par sylvie0000 sylvie0000

Ok je vais faire ça  

Merci à tous, vous m'avez été d'une aide précieuse !